Теорема Тонелли — Фубини

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

ФормулировкаПравить

Пусть даны два пространства с $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ -конечными мерами $\left(X_i,{\mathcal{F}}_i,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i\right),i=1,2$$\left(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}\right),\;i=1,\;2$ . Обозначим через $\left(X_1\times <!--\; \times \; -->X_2,{\mathcal{F}}_1\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathcal{F}}_2,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2\right)$$\left(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2}\right)$  их произведение. Пусть функция $f:<!--\; :\; -->X_1\times <!--\; \times \; -->X_2\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon X_{1}\times X_{2}\to \mathbb{R}$  интегрируема относительно меры ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2$$\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ . Тогда

• функция $x_1\to <!--\; \to \; -->\underset{X_2}{\int <!--\; \int \; -->}f\left(x_1,x_2\right){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2\left(d{x}_2\right)$$x_{1}\to \int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)$  определена ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1$$\mu _{1}$ -почти всюду и интегрируема относительно ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1$$\mu _{1}$ ;
• функция $x_2\to <!--\; \to \; -->\underset{X_1}{\int <!--\; \int \; -->}f\left(x_1,x_2\right){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1\left(d{x}_1\right)$$x_{2}\to \int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)$  определена ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2$$\mu _{2}$ -почти всюду и интегрируема относительно ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2$$\mu _{2}$ ;
• имеют место равенства

$\underset{X_1\times <!--\; \times \; -->X_2}{\iint <!--\; \iint \; -->}f\left(x_1,x_2\right){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2\left(d{x}_{1}d{x}_2\right)=\underset{X_1}{\int <!--\; \int \; -->}\left[\underset{X_2}{\int <!--\; \int \; -->}f\left(x_1,x_2\right){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2\left(d{x}_2\right)\right]{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1\left(d{x}_1\right)$$\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)$ 

и

$\underset{X_1\times <!--\; \times \; -->X_2}{\iint <!--\; \iint \; -->}f\left(x_1,x_2\right){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2\left(d{x}_{1}d{x}_2\right)=\underset{X_2}{\int <!--\; \int \; -->}\left[\underset{X_1}{\int <!--\; \int \; -->}f\left(x_1,x_2\right){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1\left(d{x}_1\right)\right]{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2\left(d{x}_2\right).$$\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right).$ 

Частные случаиПравить

Теория вероятностейПравить

Пусть $({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_i,{\mathcal{F}}_i,{\mathbb{P}}_i),i=1,2$$(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$  — вероятностные пространства, и $X:<!--\; :\; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_2\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb{R}$  — случайная величина на $({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_2,{\mathcal{F}}_1\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathcal{F}}_2,{\mathbb{P}}_1\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathbb{P}}_2)$$(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P}}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2})$ . Тогда

${\mathbb{E}}_{{\mathbb{P}}_1\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathbb{P}}_2}[X]={\mathbb{E}}_{{\mathbb{P}}_1}\left[{\mathbb{E}}_{{\mathbb{P}}_2}[X]\right]={\mathbb{E}}_{{\mathbb{P}}_2}\left[{\mathbb{E}}_{{\mathbb{P}}_1}[X]\right],$${\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2}}}[X]={\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}}}\left[{\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{2}}}[X]\right]={\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{2}}}\left[{\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}}}[X]\right],$ 

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализПравить

Пусть $f:<!--\; :\; -->D=[a,b]\times <!--\; \times \; -->[c,d]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb{R}$  функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике $[a,b]\times <!--\; \times \; -->[c,d]$$[a,\;b]\times [c,\;d]$ , то есть $f\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}(D)$$f\in \mathbb{R} (D)$ . Тогда

$\underset{D}{\iint <!--\; \iint \; -->}f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left[\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dy\right]dx=\underset{c}{\overset{d}{\int <!--\; \int \; -->}}\left[\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x,y)dx\right]dy,$$\iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,$ 

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные. Предполагается, что повторные интегралы существуют.

ДоказательствоПравить

Любое разбиение $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  множества $[a,b]\times <!--\; \times \; -->[c,d]$$[a,\;b]\times [c,\;d]$  получено некоторыми разбиениями ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_x$$\lambda _{{x}}$  отрезка $X=[a,b]$$X=[a,\;b]$  и ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_y$$\lambda _{{y}}$  отрезка $[c,d]$$[c,\;d]$ , при этом объём любого прямоугольника $X_i\times <!--\; \times \; -->Y_j$$X_{{i}}\times Y_{{j}}$  определяется $V\left(X_i\times <!--\; \times \; -->Y_j\right)=\left|X_i\right|\cdot <!--\; \cdot \; -->\left|Y_j\right|$$V\left(X_{{i}}\times Y_{{j}}\right)=\left|X_{{i}}\right|\cdot \left|Y_{{j}}\right|$ , где $X_i,Y_j$$X_{{i}},Y_{{j}}$  ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла

$\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}dx\left[\underset{Y}{\int <!--\; \int \; -->}f\left(x,y\right)dy\right](\ast <!--\; \ast \; -->)$$\int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)$ 

и нижних и верхних интегральных сумм функции $\mathcal{L}\left(f,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)$${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)$  и $\mathcal{U}\left(f,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)$${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$ :
$\mathcal{L}\left(f,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{x\in <!--\; \in \; -->X_i,y\in <!--\; \in \; -->Y_j}{inf}f\left(x,y\right)V\left(X_i\times <!--\; \times \; -->Y_j\right)⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{x\in <!--\; \in \; -->X_i}{inf}\left(\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{y\in <!--\; \in \; -->Y_j}{inf}f\left(x,y\right)\left|Y_j\right|\right)\left|X_i\right|$${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\inf \limits _{x\in X_{i},\;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leqslant \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$ 
$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}inf\left(\underset{Y}{\int <!--\; \int \; -->}f\left(x,y\right)dy\right)\left|X_i\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}dx\underset{Y}{\int <!--\; \int \; -->}f\left(x,y\right)dy⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}sup\left(\underset{Y}{\int <!--\; \int \; -->}f\left(x,y\right)dy\right)\left|X_i\right|$$\sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|\leqslant \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leqslant \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|$ 
$\mathcal{U}\left(f,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{x\in <!--\; \in \; -->X_i,y\in <!--\; \in \; -->Y_j}{sup}f\left(x,y\right)V\left(X_i\times <!--\; \times \; -->Y_j\right)⩾<!--\; ⩾\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{x\in <!--\; \in \; -->X_i}{sup}\left(\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{y\in <!--\; \in \; -->Y_j}{sup}f\left(x,y\right)\left|Y_j\right|\right)\left|X_i\right|$${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\sup \limits _{x\in X_{i},\;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geqslant \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$ 
Тогда при интегрируемости $f$$f$  по $X\times <!--\; \times \; -->Y$$X\times Y$ , то есть равенстве $\underset{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{sup}\mathcal{L}\left(f,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)=\underset{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{inf}\mathcal{U}\left(f,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)$$\sup \limits _{\lambda }\,\;{\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$  из вышеуказанных оценок интеграл $(\ast <!--\; \ast \; -->)$$(*)$  также существует и имеет такое же значение, как и $\underset{X\times <!--\; \times \; -->Y}{\iint <!--\; \iint \; -->}f(x,y)dxdy.$$\iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.$ 

См. такжеПравить

• Произведение мер
• Малая теорема Фубини
• Кошмар Фубини
• Формула коплощади

ЛитератураПравить

• Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — С. 131—138.