Пространство столбцов

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы $A$$A$ — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.

Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.

Пусть $\mathbb{F}$$\mathbb {F}$ — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$ с компонентами из $\mathbb{F}$$\mathbb {F}$ является линейным подпространством координатного пространства ${\mathbb{F}}^m$$\mathbb {F} ^{m}$. Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит $min(m,n)$$\min(m,n)$. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$.

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ и ${\mathbb{R}}^m$$\mathbb{R} ^{m}$ соответственно.

ОбзорПравить

Пусть $A$$A$  — матрица размера $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$ .Тогда имеют место такие утверждения про её ранг $\mathrm{rank}<!--\; \; -->A$$\operatorname{rank}A$ , где $\mathrm{rowsp}<!--\; \; -->A$$\operatorname {rowsp} A$  и $\mathrm{colsp}<!--\; \; -->A$$\operatorname {colsp} A$  — её пространства столбцов и строк соответственно:

1. $\mathrm{rank}<!--\; \; -->A=\dim <!--\; \; -->\mathrm{rowsp}<!--\; \; -->A=\dim <!--\; \; -->\mathrm{colsp}<!--\; \; -->A$$\operatorname {rank} A=\dim \operatorname {rowsp} A=\dim \operatorname {colsp} A$ ,
2. $\mathrm{rank}<!--\; \; -->A$$\operatorname{rank}A$  равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде $A$$A$ ,
3. $\mathrm{rank}<!--\; \; -->A$$\operatorname{rank}A$  равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы $A$$A$ .

Пространство столбцов матрицы $A$$A$  совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов $A$$A$ . То есть, если $A=[a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n]$$A=[a_{1},\dots ,a_{n}]$ , то $\mathrm{colsp}<!--\; \; -->A=\mathrm{img}<!--\; \; -->\{a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n\}$$\operatorname {colsp} A=\operatorname {img} \{a_{1},\dots ,a_{n}\}$ , где $\mathrm{img}<!--\; \; -->S$$\operatorname {img} S$  — линейная оболочка $S$$S$ .

Действие матрицы $A$$A$  на некоторый вектор $x$$x$  может быть представлено как линейная комбинация столбцов $A$$A$  с коэффициентами, соответствующими координатам $x$$x$ . Значит, $Ax$$Ax$  всегда лежит в $\mathrm{colsp}<!--\; \; -->A$$\operatorname {colsp} A$ . Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  в ${\mathbb{R}}^m$$\mathbb{R} ^{m}$ , то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  или, в общем случае, над произвольным полем $\mathbb{F}$$\mathbb {F}$ .

Пример

Дана матрицы $J$$J$ :

$J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$ 

Её строки:

• $r_1=[2,4,1,3,2]$$r_{1}=[2,4,1,3,2]$ ,
• $r_2=[-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->2,1,0,5]$$r_{2}=[-1,-2,1,0,5]$ ,
• $r_3=[1,6,2,2,2]$$r_{3}=[1,6,2,2,2]$ ,
• $r_4=[3,6,2,5,1]$$r_{4}=[3,6,2,5,1]$ .

Следовательно, пространство строк матрицы $J$$J$  это подпространство ${\mathbb{R}}^5$$\mathbb {R} ^{5}$ , заданное как $\mathrm{img}<!--\; \; -->\{r_1,r_2,r_3,r_4\}$$\operatorname {img} \{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}$ . Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору $n=[6,-<!--\; -\; -->1,4,-<!--\; -\; -->4,0]$$n=[6,-1,4,-4,0]$ , из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов ${\mathbb{R}}^5$$\mathbb {R} ^{5}$ , которые ортогональны вектору $n$$n$ .

Пространство столбцовПравить

ОпределениеПравить

Пусть $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$  — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица $A$$A$  размера $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$  со столбцами ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{v}}_n$$\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ . Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_n{\mathbf{v}}_n,$$c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},$ 

Где $c_1,c_2,\dots <!--\; \dots \; -->,c_n$$c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}$  — скаляры. Множество всех возможных комбинаций ${\mathbf{v}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{v}}_n$$\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$  называется пространством столбцов $A$$A$ . То есть, пространство столбцов $A$$A$  — это линейная оболочка векторов ${\mathbf{v}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{v}}_n$$\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ .

Любая линейная комбинация столбцов матрицы $A$$A$  может быть записана как умножение матрицы $A$$A$  на некоторый вектор-столбец:

${\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&\cdots &+c_{n}a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}a_{m1}+&\cdots &+c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}$ 

Таким образом, пространство столбцов $A$$A$  состоит из всех возможных произведений $Ax$$Ax$ , где $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{K}}^n$$x\in \mathbb {K} ^{n}$ , что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример

Если $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ , то её столбцы это $v_1=[1,0,2{]}^T$$v_{1}=[1,0,2]^{T}$  и $v_2=[0,1,0{]}^T$$v_{2}=[0,1,0]^{T}$ .

Линейная комбинация $v_1$$v_{1}$  и $v_2$$v_{2}$  — это любой вектор, имеющий следующий вид:

$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ 2c_1\end{array}\right]$$c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,$  Множество всех таких векторов образует пространство столбцов $A$$A$ . В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов $[x,y,z]\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^3$$[x,y,z]\in \mathbb {R} ^{3}$ , удовлетворяющих уравнению $z=2x$$z=2x$ .

В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

БазисПравить

Столбцы матрицы $A$$A$  порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счастью, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

$A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}{\text{.}}$ 

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём $A$$A$  к ступенчатому виду по строкам:

${\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$ 

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, $v_3=-<!--\; -\; -->2v_1+v_2$$v_{3}=-2v_{1}+v_{2}$ ). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ 7\\ 5\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ 9\\ 1\\ 8\end{array}\right]\text{.}$${\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}{\text{.}}$ 

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов $A$$A$  эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы $A^T$$A^{T}$ . На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

РазмерностьПравить

Основная статья: Ранг матрицы

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен $3$$3$ .

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения ${\mathbb{R}}^4\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^4$$\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$  заданного матрицей выше отображает ${\mathbb{R}}^4$$\R^4$  в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов. Ранг и размерность ядра матрицы $A$$A$  c $n$$n$  столбцами связаны уравнением:

$\mathrm{rank}<!--\; \; -->(A)+\dim <!--\; \; -->\ker <!--\; \; -->(A)=n.$$\operatorname {rank} (A)+\dim \ker(A)=n.\,$ 

Связь с коядромПравить

Коядро (левый аннулятор) матрицы $A$$A$  это множество векторов $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  таких что ${\mathbf{x}}^{T}A=0^T$$\mathbf {x} ^{T}A=0^{T}$ . Коядро матрицы $A$$A$  совпадает с ядром $A^T$$A^{T}$ . Произведение $A^T$$A^{T}$  на $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  может быть записано в виде скалярных произведений векторов

$A^T\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}\\ {\mathbf{v}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ {\mathbf{v}}_n\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{x}\end{array}\right],$$A^{T}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},$ 

Потому что строки $A^T$$A^{T}$  являются транспонированными столбцами ${\mathbf{v}}_k$$\mathbf {v} _{k}$  матрицы $A$$A$ . Поэтому $A^T\mathbf{x}=0$$A^{T}\mathbf {x} =0$  тогда и только тогда когда $\mathbf{x}$$\mathbf {x}$  ортогонален ко всем столбцам $A$$A$ .

Отсюда следует, что коядро $A$$A$  (ядро $A^T$$A^{T}$ ) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов $A$$A$ .

Для матрицы над кольцамиПравить

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$  как:

$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathbf{v}}_k{c}_k$$\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}$ 

Где $c_1,\dots <!--\; \dots \; -->,c_n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{K}$$c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {K}$ . Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора ${\mathbf{v}}_k$$\mathbf {v} _{k}$  на скаляр $c_k$$c_{k}$  таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр.

См. такжеПравить

• Евклидово пространство

ЛитератураПравить

См. также: Линейная алгебра § Литература

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 
• Banerjee, Sudipto & Roy, Anindya (June 6, 2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8 
• Beauregard, Raymond A. & Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X 
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, <http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html>  Архивная копия от 31 октября 2009 на Wayback Machine
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Row Space (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Column Space (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Гилберт Стрэнг, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces на Google Video от MIT OpenCourseWare
• Khan Academy video tutorial
• Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT
• Row Space and Column Space