Пространство модулей

Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство (например, схема, комплексное^[en] или алгебраическое^[en] пространство), точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов $A$$A$, факторизованному по некоторому отношению эквивалентности $R$$R$. Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов (например, гладких алгебраических кривых рода $g$$g$, рассматриваемых с точностью до изоморфизма), может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.

ИсторияПравить

Теория модулей возникла при изучении эллиптических функций: существует семейство различных полей эллиптических функций (или их моделей — неизоморфных эллиптических кривых над $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ ), параметризованное комплексными числами. Бернхард Риман, которому принадлежит и сам термин «модули», показал, что компактные римановы поверхности рода $g⩾<!--\; ⩾\; -->2$$g\geqslant 2$  зависят от $3g-<!--\; -\; -->3$$3g-3$  комплексных параметров — модулей.

ОпределенияПравить

Пусть $S$$S$  — некоторая схема (комплексное или алгебраическое пространство). Семейство объектов, параметризованное схемой $S$$S$  (или, как часто говорят, над $S$$S$  или с базой $S$$S$ ) — это набор объектов $\{X_s|s\in <!--\; \in \; -->S,X_s\in <!--\; \in \; -->A\}$$\{X_{s}|s\in S,X_{s}\in A\}$ , снабжённый дополнительной структурой, согласованной со структурой базы $S$$S$ . Эта структура в каждом конкретном случае задаётся явно. Функтор модулей (или функтор семейств) — это контравариантный функтор $\mathcal{M}$${\mathcal {M}}$  из категории схем (или пространств) в категорию множеств, определяемый следующим образом: $\mathcal{M}(S)$${\mathcal {M}}(S)$  — множество классов изоморфных семейств над $S$$S$ , а морфизму $f:S\to <!--\; \to \; -->T$$f:S\to T$  сопоставляется отображение $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}:\mathcal{M}(T)\to <!--\; \to \; -->\mathcal{M}(S)$$f^{*}:{\mathcal {M}}(T)\to {\mathcal {M}}(S)$  посредством взятия индуцированного семейства.

Если функтор модулей $\mathcal{M}$${\mathcal {M}}$  представим с помощью схемы (или пространства) $M$$M$ , то $M$$M$  называется тонким пространством модулей для функтора $\mathcal{M}$${\mathcal {M}}$ . В этом случае существует универсальное семейство $U$$U$  с базой $M$$M$ , то есть произвольное семейство $T$$T$  с базой $S$$S$  индуцируется семейством $U$$U$  при помощи единственного отображения $f:S\to <!--\; \to \; -->M$$f:S\to M$ .

Функтор модулей представим в очень немногих случаях, в связи с чем было введено также понятие грубого пространства модулей. Схема $M$$M$  называется грубым пространством модулей для функтора $\mathcal{M}$${\mathcal {M}}$ . если существует естественное преобразование $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:\mathcal{M}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot <!--\; \cdot \; -->,M)$$\varphi :{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M)$ , такое, что

1. если $K$$K$  — алгебраически замкнутое поле, то отображение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K):\mathcal{M}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K,M)$$\varphi (\mathrm {Spec} \,K):{\mathcal {M}}(\mathrm {Spec} \,K)\to \mathrm {Hom} (\mathrm {Spec} \,K,M)$  биективно;
2. для произвольной схемы $M^{\prime }$$M'$  и естественного преобразования ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }:\mathcal{M}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot <!--\; \cdot \; -->,M^{\prime })$$\varphi ':{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$  существует единственный морфизм $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:M\to <!--\; \to \; -->M^{\prime }$$\pi :M\to M'$ , такой, что для ассоциированного естественного преобразования $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot <!--\; \cdot \; -->,M)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot <!--\; \cdot \; -->,M^{\prime })$$\Pi :\mathrm {Hom} (\cdot ,M)\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$  выполняется $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }$$\varphi =\Pi \circ \varphi '$ .

Интуитивно, замкнутые точки грубой схемы модулей соответствуют элементам $A/R$$A/R$ , а геометрия этой схемы отражает то, каким образом объекты класса $A$$A$  могут варьироваться в семействах. С другой стороны, над грубой схемой модулей может уже не существовать универсального семейства.

ПримерыПравить

КривыеПравить

Пусть $A/R={\mathbf{M}}_g$$A/R=\mathbf {M} _{g}$  (соответственно, $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathbf{M}}_g}$${\overline {\mathbf {M} _{g}}}$ ) — множество классов изоморфных проективных гладких связных кривых (соответственно, стабильных кривых^[en]) рода $g⩾<!--\; ⩾\; -->2$$g\geqslant 2$  над алгебраически замкнутым полем $K$$K$ . Семейство над $S$$S$  — это гладкий (плоский) собственный морфизм $f:X\to <!--\; \to \; -->S$$f:X\to S$ , слоями которого являются гладкие (стабильные) кривые рода $g$$g$ . Тогда существует грубая схема модулей $M_g$$M_{g}$  (соответственно, $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{M_g}$${\overline {M_{g}}}$ ), являющаяся квазипроективным (проективным) неприводимым и нормальным многообразием над $K$$K$ .

Векторные расслоенияПравить

Пусть $A/R$$A/R$  — множество классов изоморфных векторных расслоений ранга $n$$n$  на алгебраическом многообразии $X$$X$ . Семейство над $S$$S$  — это векторное расслоение на $X\times <!--\; \times \; -->S$$X\times S$ . В случае, когда $X$$X$  — это неособая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем, существует нормальное проективное многообразие $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{M_{d,n}}$${\overline {M_{d,n}}}$ , являющееся грубым пространством модулей полустабильных векторных расслоений ранга $n$$n$  и степени $d$$d$  на $X$$X$ . Стабильные векторные расслоения параметризуются открытым гладким подмногообразием $M_{d,n}\subset <!--\; \subset \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{M_{d,n}}$$M_{d,n}\subset {\overline {M_{d,n}}}$ . Если $d$$d$  и $n$$n$  взаимно просты, $M_{d,n}$$M_{d,n}$  совпадает с $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{M_{d,n}}$${\overline {M_{d,n}}}$  и является тонким пространством модулей.

ЛитератураПравить

• Модулей теория — статья из Математической энциклопедии. В. А. Исковских
• Дж. Харрис, Я. Моррисон. Модули кривых. Вводный курс / пер. с англ. под ред. С. К. Ландо. — Москва: Мир, 2004.
• К. Оконек, М. Шнайдер, Х. Шпиндлер. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах / пер. с англ. под ред. Ю. И. Манина. — Москва: Мир, 1984.