Аффинная эквивалентность

Два множества $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A,B\in \mathbb {R} ^{n}$ $A,B\in \mathbb {R} ^{n}$ называются аффинно эквивалентными, если существует аффинное преобразование $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $f:{\mathbb {R}}^{{n}}\to {\mathbb {R}}^{{n}}$ , переводящее $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B$ $B$ , т.е. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f(A)=B$ $f(A) = B$ .

Аффинная эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ множества $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathbb {R}}^{{n}}$ и, в частности, на любом подмножестве $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ .

Например, если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})$ $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})$ —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то аффинная эквивалентность разбивает его на четыре класса эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные коники:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x^{2}+y^{2}\,=1$ $x^{2}+y^{2}\,=1$ — вещественная единичная окружность;
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x^{2}-y^{2}\,=1$ $x^{2}-y^{2}\,=1$ — равнобочная гипербола;
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $y=x^{2}$ $y=x^2$ — стандартная парабола;
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x^{2}+y^{2}\,=-1$ $x^{2}+y^{2}\,=-1$ — мнимая окружность.

Другими словами, аффинная эквивалентность доставляет аффинную классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости аффинно эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

Аффинная эквивалентность

См. такжеПравить