Конечная p-группа

Группа называется конечной $p$$p$-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Основные свойства конечных p-группПравить

Пусть $P$$P$  — конечная $p$$p$ -группа, тогда

• P — нильпотентна.
• $|Z(P)|>1$$|Z(P)|>1$ , где $Z(P)$$Z(P)$  — центр группы P.
• Для любого $1\leq k<n$  в $P$$P$  существует нормальная подгруппа порядка $p^k$$p^{k}$ .
• Если $H$$H$  нормальна в $P$$P$ , то $|H\cap <!--\; \cap \; -->Z(P)|>1$$|H\cap Z(P)|>1$ .
• $P^{\prime }\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(P)$$P'\leq \Phi (P)$ .
• $P/\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(P)\cong <!--\; \cong \; -->E_{p^d}$$P/\Phi (P)\cong E_{p^{d}}$ .

Некоторые классы конечных p-группПравить

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных $p$$p$ -групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального классаПравить

Конечная $p$$p$ -группа порядка $p^n$$p^{n}$  называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$ .

Если $P$$P$  — конечная $p$$p$ -группа максимального класса, то $P^{\prime }=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(P)$$P'=\Phi (P)$  и $|Z(P)|=p$$|Z(P)|=p$ .

Единственными 2-группами порядка $2^n$$2^{n}$  максимального класса являются: диэдральная группа $D_{2^n}$$D_{2^{n}}$ , обобщённая группа кватернионов $Q_{2^n}$$Q_{2^{n}}$  и полудиэдральная группа $S{D}_{2^n}$$SD_{2^{n}}$ .

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группыПравить

Конечная $p$$p$ -группа называется $p$$p$ -центральной, если ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_1(P)\le <!--\; \le \; -->Z(P)$$\Omega _{1}(P)\leq Z(P)$ . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной $p$$p$ -группы.

Мощные p-группыПравить

Конечная $p$$p$ -группа называется мощной, если $[P,P]\le <!--\; \le \; -->P^p$$[P,P]\leq P^{p}$  при $p\ne <!--\; \ne \; -->2$$p\neq 2$  и $[P,P]\le <!--\; \le \; -->P^4$$[P,P]\leq P^{4}$  при $p=2$$p=2$ . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию $p$$p$ -центральной $p$$p$ -группы.

Регулярные p-группыПравить

Конечная $p$$p$ -группа $P$$P$  называется регулярной, если для любых $x,y\in <!--\; \in \; -->P$$x,y\in P$  выполнено $(xy{)}^p=x^p{y}^p{c}^p$$(xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p}$ , где $c\in <!--\; \in \; -->P^{\prime }$$c\in P'$ . Регулярными будут, например, все абелевы $p$$p$ -группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

• Любая подгруппа и факторгруппа регулярной $p$$p$ -группы регулярна.
• Конечная $p$$p$ -группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
• Конечная $p$$p$ -группа порядка не большего $p^p$$p^{p}$  является регулярной.
• Конечная $p$$p$ -группа класс нильпотентности которой меньше $p$$p$  является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при $p>2$$p>2$ .
• Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядковПравить

Число различных $p$$p$ -групп порядка $p^n$$p^{n}$ Править

• Число неизоморфных групп порядка $p$$p$  равно 1: группа $C_p$$C_{p}$ .
• Число неизоморфных групп порядка $p^2$$p^{2}$  равно 2: группы $C_{p^2}$$C_{p^{2}}$  и $C_p\times <!--\; \times \; -->C_p$$C_{p}\times C_{p}$ .
• Число неизоморфных групп порядка $p^3$$p^{3}$  равно 5, из них три абелевы группы: $C_{p^3}$$C_{p^{3}}$ , $C_{p^2}\times <!--\; \times \; -->C_p$$C_{p^{2}}\times C_{p}$ , $C_p\times <!--\; \times \; -->C_p\times <!--\; \times \; -->C_p$$C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$  и две неабелевы: при $p>2$$p>2$  — $E_{p^3}^{+}$$E_{p^{3}}^{+}$  и $E_{p^3}^{-<!--\; -\; -->}$$E_{p^{3}}^{-}$ ; при p = 2 — $D_4$$D_{4}$ , $Q_8$$Q_8$ .
• Число неизоморфных групп порядка $p^4$$p^{4}$  равно 15 при $p>2$$p>2$ , число групп порядка $2^4$$2^4$  равно 14.
• Число неизоморфных групп порядка $p^5$$p^{5}$  равно $2p+61+2GCD(p-<!--\; -\; -->1,3)+GCD(p-<!--\; -\; -->1,4)$$2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$  при $p\ge <!--\; \ge \; -->5$$p\geq 5$ . Число групп порядка $2^5$$2^{5}$  равно 51, число групп порядка $3^5$$3^{5}$  равно 67.
• Число неизоморфных групп порядка $p^6$$p^{6}$  равно $3p^2+39p+344+24GCD(p-<!--\; -\; -->1,3)+11GCD(p-<!--\; -\; -->1,4)+2GCD(p-<!--\; -\; -->1,5)$$3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)$  при $p\ge <!--\; \ge \; -->5$$p\geq 5$ . Число групп порядка $2^6$$2^6$  равно 267, число групп порядка $3^6$$3^{6}$  равно 504.
• Число неизоморфных групп порядка $p^7$$p^{7}$  равно $3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-<!--\; -\; -->1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-<!--\; -\; -->1,4)+(3p+31)GCD(p-<!--\; -\; -->1,5)+4GCD(p-<!--\; -\; -->1,7)+5GCD(p-<!--\; -\; -->1,8)+GCD(p-<!--\; -\; -->1,9)$$3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)$  при $p>5$$p>5$ . Число групп порядка $2^7$$2^7$  равно 2328, число групп порядка $3^7$$3^{7}$  равно 9310, число групп порядка $5^7$$5^{7}$  равно 34297.

p-группы порядка $p^n$$p^{n}$ , асимптотикаПравить

При $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow\infty$  число неизоморфных групп порядка $p^n$$p^{n}$  асимптотически равно $p^{(2/27+O(n^{-<!--\; -\; -->1/3}))n^3}$$p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}$ .

Знаменитые проблемы теории конечных p-группПравить

Группа автоморфизмов конечной p-группыПравить

Для групп $p$$p$ -автоморфизмов конечной $p$$p$ -группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

• Пусть $P$$P$  является нециклической $p$$p$ -группой порядка $|P|\ge <!--\; \ge \; -->p^3$$|P|\geq p^{3}$ , тогда $|P|\le <!--\; \le \; -->|Sy{l}_p(Aut(P))|$$|P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|$ .

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса $p$$p$ -групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более $p^7$$p^{7}$ , групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза ХигменаПравить

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка $q$$q$  нильпотентна.

• Пусть группа $P$$P$  обладает регулярным автоморфизмом простого порядка $q$$q$ . Тогда её класс нильпотентности равен $cl(P)=\frac{q^2-<!--\; -\; -->1}{4}$$cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4}}$ .

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: $cl(P)<q^{q}$  (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза БернсайдаПравить

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с $m$$m$  образующими и периодом $n$$n$  (то есть все её элементы $x$$x$  удовлетворяют соотношению $x^n=1$$x^{n}=1$ ), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через $B(m,n)$$B(m,n)$ . Тогда все другие группы с таким же свойством будут её факторгруппами. Действительно, как легко показать группа $B(m,2)$$B(m,2)$  является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы $B(m,3)$$B(m,3)$  равен $3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}$$3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}$ . Однако, как показали Новиков и Адян, при $m\ge <!--\; \ge \; -->2$$m\geq 2$  и при любом нечётном $n\ge <!--\; \ge \; -->4381$$n\geq 4381$  группа $B(m,n)$$B(m,n)$  бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных $m$$m$ -порождённых групп периода $n$$n$  ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных $p$$p$  групп она означает, что существует лишь конечное число $p$$p$  групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группыПравить

Классификация нерегулярных p-групп порядка $p^{p+1}$$p^{p+1}$ .

ЛитератураПравить

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
• Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
• Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
• Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
• Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
• Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
• Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
• Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
• Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

СсылкиПравить

• Система GAP.