Преобразование Хаусхолдера

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H_{u}$ $H_{u}$ векторного пространства $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V$ $V$ , которое описывает его отражение относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат.

Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.

ОпределенияПравить

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $u$ , который ортогонален ей, а $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — скалярное произведение в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V$ , тогда

\text{[math]}

H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

\text{[math]}

H=I-2uu^{\dagger }.

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H=H^{\dagger }.$
Матрица Хаусхолдера является унитарной: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H^{\dagger }H=I.$
Матрица Хаусхолдера является инволюцией: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $H^{2}=I$ .
Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение, равное $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $-1$ , которое соответствует собственному вектору $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $u$ , все другие собственные значения равны $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $1$ .
Определитель матрицы Хаусхолдера равен $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $-1$ .

Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339—342. DOI:10.1145/320941.320947