Представление Гейзенберга

Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.

Описание представления ГейзенбергаПравить

Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}$${\hat A}$ , а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства $|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\Psi \rangle$ . В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:

$\frac{d}{dt}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)=\frac{i}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H},{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)]+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t},$${\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}_{H}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{S}}{\partial t}},$

где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.

Связь между операторами в представлении Шрёдингера и ГейзенбергаПравить

Пусть $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)$${\hat A}(t)$  - оператор в представлении Шрёдингера, а ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)$${\hat A}_{H}(t)$  - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t_0,t)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0),$${\hat A}_{H}(t)={\hat S}(t_{0},t){\hat A}(t){\hat S}(t,t_{0}),$

где $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0)$${\hat S}(t,t_{0})$  - оператор эволюции:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0)=T\left\{\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{i}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^{t}H(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)\right\},t>t_0$${\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}$ 

${\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_{0}}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}$ 

где $T,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{T}$$T,\overline {T}$  - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0)=\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{i}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t-<!--\; -\; -->t_0)\right),$${\hat S}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}{\hat H}(t-t_{0})}\right),$ 

и унитарное преобразование принимает вид:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)=e^{i\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t-<!--\; -\; -->t_0)/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)e^{-<!--\; -\; -->i\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t-<!--\; -\; -->t_0)/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}.$${\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.$ 

Переход от представления Шрёдингера к представлению ГейзенбергаПравить

Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t)|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)⟩=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)⟩,$${\hat H}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,$ 

где $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t)$${\hat H}(t)$  - оператор Гамильтона.

Введем оператор эволюции $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0)$${\hat S}(t,t_{0})$ , который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0)|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t_0)⟩=|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)⟩.(2)$${\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad (2)$ 

Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0)=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0),(3)$$i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}),\qquad (3)$ 

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t_0,t_0)=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{I},$${\hat {S}}(t_{0},t_{0})={\hat {I}},$ 

где $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{I}$${\hat I}$  - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0)=e^{-<!--\; -\; -->i\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t-<!--\; -\; -->t_0)/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}.$${\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.$ 

Теперь рассмотрим среднее значение оператора $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}$$\hat A$  некоторой наблюдаемой величины:

$⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t)⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t_0)|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t_0,t)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0)|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t_0)⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t_0)|{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)|\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(t_0)⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .$ 

Таким образом, оператор $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}$$\hat A$  в представлении Гейзенберга определяется формулой:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t_0,t)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{S}(t,t_0).(4)$${\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}).\qquad (4)$ 

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)=e^{i\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t-<!--\; -\; -->t_0)/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)e^{-<!--\; -\; -->i\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t-<!--\; -\; -->t_0)/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}.$${\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.$ 

Продифференцируем формулу $(4)$$(4)$  по времени и используем уравнение $(3)$$(3)$ , тогда получим уравнение движения операторa $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)$${\hat A}(t)$  в Гейзенберговском представлении:

$\frac{d}{dt}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)=\frac{i}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}(t),{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t)]+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}_H(t),(5)$${d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}}_{H}(t)]+{\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)$ 

где частная производная обозначает явную зависимость оператора $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}(t)$${\hat A}(t)$  от времени.

Пример. Квантовый гармонический осциллятор.Править

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H^{†<!--\; †\; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H+1/2).$${\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2).$ 

Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение $(5)$$(5)$  перепишется в виде

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{d}{dt}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H(t)=-<!--\; -\; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}[{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H^{†<!--\; †\; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H+1/2,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H(t)],$$i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat a}_{H}^{\dagger }{\hat a}_{H}+1/2,{\hat a}_{H}(t)],$ 

$i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{d}{dt}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H(t)=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H(t),$$i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat a}_{H}(t),$ 

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H(t)=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t-<!--\; -\; -->t_0)},$${\hat a}_{H}(t)={\hat a}e^{{-i\omega (t-t_{0})}},$ 

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_H^{†<!--\; †\; -->}(t)={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{†<!--\; †\; -->}{e}^{i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t-<!--\; -\; -->t_0)},$${\hat {a}}_{H}^{\dagger }(t)={\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega (t-t_{0})},$ 

где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения $[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a},{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{†<!--\; †\; -->}{]}_{\mp <!--\; \mp \; -->}=1.$$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]_{\mp }=1.$ 

ПрименениеПравить

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

См. такжеПравить

• Квантовая механика
• Представление Шрёдингера
• Представление взаимодействия
• Уравнение Шрёдингера
• Волновая функция
• Оператор (физика)

ЛитератураПравить

• Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга // Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — С. 55-56.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
• Параграф 10. Представление Гейзенберга. Глава VIII // Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — С. 306-307.
• Параграф 3.4. Гейзенберговская картина // Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1989. — С. 154-155.
• Сербо В. Г., Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2008. — 274 c. — ISBN 978-5-94356-642-4

СсылкиПравить

• Гейзенберга представление — статья из Физической энциклопедии
• Heisenberg picture (англ.)