Правильный четырёхмерный многогранник

Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.

Правильные 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века, хотя полное множество было открыто много позже.

Существует шесть выпуклых и десять звёздчатых правильных 4-мерных многогранников, в общей сумме шестнадцать.

ИсторияПравить

Тессеракт — один из 6 выпуклых правильных 4-мерных многогранников

Выпуклые 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких тел.

Шлефли нашёл также четыре правильных звёздчатых 4-мерных многогранника большой стодвадцатиячейник^[en], большой звёздчатый стодвадцатиячейник^[en], великий шестистотячейник^[en] и большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник. Он пропустил оставшиеся шесть, поскольку он не разрешал нарушения эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F − E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как {5,5/2} и {5/2,5}.

Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей книге на немецком Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (Введение в учение о делении поверхности шара с особым учётом его применения в теории равногранных и равноугольных многогранников) в 1883.

ПостроениеПравить

Существование правильного 4-мерного многогранника $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{p,q,r\}$ ограничено существованием правильных (3-мерных) многогранников $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{p,q\},\{q,r\}$ , которые образуют его ячейки и ограничивают двугранный угол

\text{[math]}

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)<\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right),

чтобы ячейки представляли собой замкнутые 3-мерные поверхности.

Шесть выпуклых и десять звёздчатых многогранников, описываемых здесь, авляются единственными решениями, удовлетворяющими ограничениям.

Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, имеющие допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r}, которые проходят тест на диэдральный угол, но которые не дают конечные фигуры — {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

Правильные выпуклые 4-мерные многогранникиПравить

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырёхмерными аналогами платоновых тел в трёхмерном пространстве и выпуклых правильных многоугольников в двумерном.

Пять из них можно понимать как близкие аналоги платоновых тел. Существует одна дополнительная фигура, двадцатичетырёхъячейник, которая не имеет близкого трёхмерного эквивалента.

Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник ограничен множеством 3-мерных ячеек^[en], которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Ячейки соприкасаются друг с другом по граням, образуя правильную структуру.

СвойстваПравить

Следующие таблицы перечисляют некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников. Группы симметрии этих 4-мерных многогранников все являются группами Коксетера и даны в данной статье. Число, следующее за названием группы, равно порядку группы.

Имена	Семейство	Шлефли Коксетер	Вершин	Рёбра	Грани	Ячейки^[en]	Верш. фигура	Двой- ственный	Группа симметрии
пятиячейник пятигранник 4-симплекс	n-симплекс (Семейство A_n)	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	(самодвой- ственный)	A₄ [3,3,3]	120
восьмиячейник тессеракт 4-куб	n-куб (Семейство B_n)	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16-ячейник	B₄ [4,3,3]	384
шестнадцатиячейник 4-ортоплекс	n-ортоплекс (Семейство B_n)	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8-ячейник	B₄ [4,3,3]	384
двадцатичетырёхъячейник октаплекс полиоктаэдр (pO)	Семейство F_n	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	(самодвой- ственный)	F₄ [3,4,3]	1152
стодвадцатиячейник додекаконтихорон додекаплекс полидодекаэдр (pD)	n-пятиугольный многогранник (Семейство H_n)	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600-ячейник	H₄ [5,3,3]	14400
шестисотъячейник тетраплекс политетраэдр (pT)	n-пятиугольный многогранник (Семейство H_n)	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120-ячейник	H₄ [5,3,3]	14400

Джон Конвей является сторонником имён симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT) ^[1].

Норман Джонсон является сторонником имён n-ячейник или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосаэдр (или додекаконтахорон) и гексакосихорон. ^[2]^[3]^[4]

Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников:

\text{[math]}

N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0

где N_k означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.).

ВизуализацияПравить

Следующая таблица показывает некоторые 2-мерные проекции 4-мерных многогранников. Различные другие визуализации можно найти во внешних ссылках. Графы диаграмм Коксетера — Дынкина также даны ниже символа Шлефли.

A₄ = [3,3,3]	BC₄ = [4,3,3]	F₄ = [3,4,3]	H₄ = [5,3,3]
Пятиячейник	8-ячейник	16-ячейник	24-ячейник	120-ячейник	600-ячейник
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

3-мерные ортографические проекции
тетраэдральная оболочка (центрировано по ячейке/вершине)	кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	кубооктаэдральная оболочка (центрировано по ячейке)	Усечённый ромбический ромботриаконтаэдр^[en] (центрировано по ячейке)	пентакиикоси- додекаэдральная оболочка^[en] (центрировано по ячейке)
Каркасы диаграмм Шлегеля (Перспективная проекция)
центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по вершине
Каркасы стереографических проекций (3-сфера)

Правильные звёздчатые 4-мерные многогранники (Шлефли–Гесса)Править

Большой великий стодвадцатиячейник^[en], один из десяти многогранников Шлефли–Гесса (ортографическая проекция).

Четырёхмерные многогранники Шлефли–Гесса — полный список десяти правильных самопересекающихся звёздчатых четырёхмерных многогранников ^[5]. Многогранники названы по именам открывателей — Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса. Каждый многогранник представлен символом Шлефли {p,q,r}, в котором одно из чисел — 5/2. Многогранники аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера — Пуансо.

ИменаПравить

Иерархия сокращённых имён Коксетера

Имена, приведённые здесь, даны Джоном Конвеем и расширяют имена Кэли для многогранников Кеплера — Пуансо — к модификаторам stellated (звёздчатый) и great (большой) он добавил grand (великий). Конвей определил следующие операции:

stellation (образование звёздчатой формы) заменяет рёбра на более длинные на тех же прямых. (Пример — пятиугольник преобразуется в пентаграмму)
greatening (увеличение) заменяет грани на грани большего размера на тех же плоскостях. (Пример — икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр)
aggrandizement (возвеличивание) заменяет ячейки большими в тех же 3-мерных пространствах. (Пример — 600-cell возвеличивается в великий 600-ячейник^[en])

Имена по Конвею для 10 форм из 3 4-мерных многогранников с правильными ячейками — pT=polytetrahedron (политетраэдр) {3,3,5} (тетраэдральный шестисотячейник), pI=polyicoshedron (полиикосаэдр) {3,5,5/2} (икосаэдральный стодвадцатиячейник^[en]) и pD=polydodecahedron (полидодекаэдр) {5,3,3} (додекаэдральный стодвадцатиячейник) с модифицирующими приставками g, a и s для great (большой), grand (великий) и stellated (звёздчатый). Конечная звёздчатая форма, great grand stellated polydodecahedron (большой великий звёздчатый полидодекаэдр), тогда получит обозначение gaspD.

СимметрияПравить

Все десять полихоров имеют [3,3,5] (H₄) гексакосихорную симметрию^[en]. Они генерируются шестью связанными группами симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].

Каждая группа имеет 2 правильных звёздчатых многогранников, за исключением двух самодвойственных групп, содержащих по одному многограннику. Таким образом, имеется 4 двойственные пары и 2 самодвойственные формы среди десяти правильных звёздчатых многогранников.

СвойстваПравить

Примечание:

Существует два уникальных расположения вершин^[en], встречающихся в стодвадцатиячейнике и шестисотъячейнике.
Существует четыре уникальных расположения рёбер^[en], которые показаны как каркасы ортографических проекций.
Существует семь уникальных расположения граней^[en], показанные как тела (с цветными гранями) ортографических проекций.

Ячейки (3-мерные многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные рёберные фигуры^[en] и многогранная вершинные фигуры представлены их символами Шлефли.

Название Аббревиатура Конвея	Шлефли Коксетер	Ячейки^[en] {p, q}	Грани {p}	Рёбра {r}	Вершины {q, r}	Плот- ность^[en]	χ
Икосаэдральный стодвадцатиячейник^[en] полиикосаэдр (pI)	{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480
Малый звёздчатый стодвадцатиячейник^[en] звёздчатый полидодекаэдр (spD)	{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Большой стодвадцатиячейник^[en] большой полидодекаэдр (gpD)	{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Великий стодвадцатиячейник^[en] великий полидодекаэдр (apD)	{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник^[en] большой звёздчатый полидодекаэдр (gspD)	{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник^[en] большой звёздчатый полидодекаэдр (aspD)	{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
Большой великий стодвадцатиячейник^[en] большой великий полидодекаэдр (gapD)	{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Большой икосаэдральный стодвадцатиячейник^[en] большой полиикосаэдр (gpI)	{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Великий шестисотъячейник^[en] великий политетраэдр (apT)	{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
Большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник большой великий звёздчаты полидодекаэдр (gaspD)	{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

См. такжеПравить

Правильные многомерные многогранники
Список правильных многогранников и соединений
Бесконечные правильные 4-мерные многогранники:
- Правильные евклидовы соты: {4,3,4}
- Четыре компактных правильных гиперболических сот: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:
- Одиннадцатиячейник {3,5,3}
- Пятидесятисемиячейник^[en] {5,3,5}
Семейства однородных четырёхмерных многогранников^[en], построенные на основе этих 6 правильных форм.
Платоновы тела
Тело Кеплера — Пуансо – правильные звёздчатые многогранники
Звёздчатый многоугольник – правильные звёздчатые многоугольники

ПримечанияПравить

↑ Conway, 2008.
↑ Джонсон предложил также термин полихорон для названия 4-мерных многогранников как аналог трёхмерных многогранников (polyhedron) и двумерных многоугольников (polygon) как производная от греческих слов πολύ ("много") и χώρος ("пространство", "помещение")
↑ "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005 (неопр.). Дата обращения: 23 февраля 2016. Архивировано 29 ноября 2014 года.
↑ Johnson (2015), Chapter 11, Section 11.5 Spherical Coxeter groups
↑ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f{α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes

ЛитератураПравить

H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2nd. — John Wiley & Sons Inc., 1969. — ISBN 0-471-50458-0.
H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes^[en]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
D. M. Y. Sommerville. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — New York.
- Dover Publications, 1958
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 26, Regular Star-polytopes // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 404–408. — ISBN 978-1-56881-220-5.
Edmund Hess. Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder. — 1883.
Edmund Hess. Uber die regulären Polytope höherer Art. — Marburg: Sitzungsber Gesells Beförderung gesammten Naturwiss, 1885. — С. 31-57.
H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
H.S.M. Coxeter. Regular Complex Polytopes. — 2nd. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-39490-1.
Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2004. — ISBN 0511058675.

СсылкиПравить

Weisstein, Eric W. Regular polychoron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes Архивная копия от 13 декабря 2013 на Wayback Machine
Regular 4D Polytope Foldouts
Catalog of Polytope Images Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine A collection of stereographic projections of 4-polytopes.
A Catalog of Uniform Polytopes Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine
Dimensions Архивная копия от 19 сентября 2009 на Wayback Machine 2 hour film about the fourth dimension (contains stereographic projections of all regular 4-polytopes)
George Olshevsky^[en] Hecatonicosachoron] на Glossary for Hyperspace
- George Olshevsky^[en] Hexacosichoron] на Glossary for Hyperspace
- George Olshevsky^[en] Stellation] на Glossary for Hyperspace
- George Olshevsky^[en] Greatening] на Glossary for Hyperspace
- George Olshevsky^[en] Aggrandizement] на Glossary for Hyperspace
Reguläre Polytope
The Regular Star Polychora

[_9a97cef1a655e390-1] Conway, 2008.

[2] Джонсон предложил также термин полихорон для названия 4-мерных многогранников как аналог трёхмерных многогранников (polyhedron) и двумерных многоугольников (polygon) как производная от греческих слов πολύ ("много") и χώρος ("пространство", "помещение")

[3] "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005 (неопр.). Дата обращения: 23 февраля 2016. Архивировано 29 ноября 2014 года.

[4] Johnson (2015), Chapter 11, Section 11.5 Spherical Coxeter groups

[5] Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f{α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]