Правильный икосаэдр

Правильный икосаэдр
Правильный икосаэдр
	; (вращающаяся модель)
Тип	правильный многогранник
Комбинаторика
20 граней; 30 рёбер; 12 вершин	Χ = 2
Грани	правильные треугольники
Конфигурация вершины	3.3.3.3.3
Двойственный многогранник	правильный додекаэдр
	Вершинная фигура
	Развёртка
Классификация
Обозначения	I; sT;
Символ Шлефли	{3,5}
Символ Витхоффа[en]	5 \| 2 3
Диаграмма Дынкина
Группа симметрии	I h
Группа вращения	I
Количественные данные
Длина ребра	a
Площадь поверхности	5 a 2 3
Объём	5 12 ( 3 + 5 ) a 3
Двугранный угол	arccos ⁡ ( − 5 3 ) ≈ 138.19 ∘
Телесный угол при вершине	2 π − 5 arcsin ⁡ ( 2 3 ) ≈ 2.63455 ср
	Медиафайлы на Викискладе

Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сиденье», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник^[1], одно из платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

Икосаэдр и его описанная сфера

Вписанный икосаэдр, видно, что, согласно доказанному Паппом Александрийским, его вершины лежат в четырёх параллельных плоскостях.

ИсторияПравить

Евклид в предложении 16 книги XIII «Начал» занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух параллельных плоскостях — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины^[2]^[3]^:127-131. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырёх параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника^[3]^:315-316^[4].

Основные формулыПравить

Площадь поверхности S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

Площадь:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S=5a^{2}{\sqrt {3}}$

Объём:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$

Радиус вписанной сферы^[5]:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $r={\begin{matrix}{1 \over {12}}\end{matrix}}{\sqrt {42+18{\sqrt {5}}}}a={\begin{matrix}{1 \over {4{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a\approx 0{,}7557a.$

Радиус полувписанной сферы равен $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}a\approx 0{,}809a.$ ^[5]

Радиус описанной сферы^[5]:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $R={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}a\approx 0{,}951a.$

СвойстваПравить

Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями икосаэдра равен arccos(-√5/3) = 138,189685°.
Все двенадцать вершин икосаэдра лежат по три в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный треугольник.
Десять вершин икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два правильных пятиугольника, а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям. Расстояние между симметричными парами вышеупомянутых плоскостей, образованных пятью вершинами равно радиусу круга описываемого вокруг этого пятиугольника. /данное правило позволяет довольно легко создать 3D модель правильного икосаэдра/.
Угол между двумя ближайшими вершинами относительно центра тела икосаэдра следует называть икосаэдральным углом ≈ 63,434949°
Икосаэдральный угол поддерживает- имеют икосаэдральную симметрию.
Икосаэдральный угол абсолютно идентичен=равен углу диагонали с меньшей стороной у удвоенного (a=n; b=2n) прямоугольника /данное правило применимо для создания 3D модели правильного икосаэдра/.
Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 равносторонних треугольников.
Наглядное изображение
Невозможно собрать икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус описанной сферы вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра. Тетраэдры же, полученные путём деления икосаэдра имеют поверхностный угол равный 60°, а внутренний(относительно центра тела икосаэдра) имеет икосаэдральный угол приблизительно равный 63,434949°

Усечённый икосаэдрПравить

Молекула фуллерена C₆₀ — усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути классический футбольный мяч имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра с выпуклыми (сферическими) гранями.

Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.

В миреПравить

Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения^[6]. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
Икосаэдр применяется как игральная кость в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d20 (dice — кости).

Тела в виде икосаэдраПравить

Капсиды многих вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).

См. такжеПравить

Звёздчатый многогранник

ПримечанияПравить

↑ Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ Euclid's Elements, Book XIII, Proposition 16 (неопр.). Дата обращения: 3 сентября 2014. Архивировано 30 августа 2014 года.
↑ ¹ ² Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
↑ Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Vol. I. — P. 150—157.
↑ ¹ ² ³ Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Icosahedron (англ.) (май 2007). Дата обращения: 3 сентября 2014. Архивировано 4 мая 2016 года.
↑ OpenGL Red Book Ch.2 Архивировано 8 января 2015 года.

ЛитератураПравить

Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степени / Ф. Клейн; пер. с нем. А. Л. Городенцев, А. А. Кириллов, ред. А. Н. Тюрин. — М.: Наука, 1989. — 332 с. — ISBN 5020141976.

[1] Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[2] Euclid's Elements, Book XIII, Proposition 16 (неопр.). Дата обращения: 3 сентября 2014. Архивировано 30 августа 2014 года.

[Euclid-3] ¹ ² Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.

[4] Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Vol. I. — P. 150—157.

[Dok-5] ¹ ² ³ Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Icosahedron (англ.) (май 2007). Дата обращения: 3 сентября 2014. Архивировано 4 мая 2016 года.

[OpenGL_Red_Book-6] OpenGL Red Book Ch.2 Архивировано 8 января 2015 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]