Большой звёздчатый додекаэдр

Большой звёздчатый додекаэдр

Тип	тело Кеплера — Пуансо
Звёздчатая форма	Правильного додекаэдра
Элементы	F = 12, E = 30, V = 20
Характеристика Эйлера	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\chi$ $\chi$ = 2
Грани по типам	12{⁵/₂}
Символ Шлефли	{⁵/₂,3}
Символ Витхоффа	3 \| 2⁵/₂
Диаграмма Коксетера
Группа симметрии	I_h, H₃, [5,3], (*532)
Обозначения	U₅₂,C₆₈, W₂₂
Свойства	правильный невыпуклый
(⁵/₂)³ (Вершинная фигура)	Большой икосаэдр (двойственный многогранник)

Большой звёздчатый додекаэдр^[1]^[2]^[3] — это тело Кеплера — Пуансо с символом Шлефли {5/2,3}. Многогранник является одним из четырёх невыпуклых правильных многогранников.

Он состоит из 12 пересекающихся граней в виде пентаграмм с тремя пентаграммами, сходящимися в каждой вершине.

Он имеет то же самое расположение вершин^[en], что и правильный додекаэдр, а также является звёздчатой формой (меньшего) додекаэдра. Это единственная звёздчатая форма додекаэдра с таким свойством, за исключением самого додекаэдра. Его двойственный многогранник, большой икосаэдр, связан похожим образом с икосаэдром.

Если срезать треугольные пирамиды, останется икосаэдр.

Если грани не рассматривать как пентаграммы, а рассматривать как набор отдельных треугольников, он топологически связан с триакисикосаэдром, имеет ту же самую связь граней, но грани (равнобедренных) треугольников много длиннее.

РисункиПравить

Прозрачная модель	Сферическая мозаика
Прозрачный большой звёздчатый додекаэдр (вращающийся)	Этот многогранник можно представить как сферическую мозаику с плотностью 7. (Одна сферическая грань в виде пентаграммы прочерчена синей линией и заполнена жёлтым)
Развёртка	Грани звёздчатой формы
× 20 Развёртка большого звёздчатого додекаэдра (геометрия поверхности). Двадцать равнобедренных треугольных пирамид расположены так же, как грани икосаэдра	Его можно построить как третью (из трёх) звёздчатых форм додекаэдра. В списке моделей Веннинджера это модель [W20].

Связанные многогранникиПравить

Процесс усечения, применённый к большому звёздчатому многограннику, даёт серию однородных многогранников. Усечение рёбер до точек (полное усечение) даёт большой икосододекаэдр. Процесс завершается на двойном полном усечении, при котором исходные грани сводятся к точкам, результат — большой икосаэдр.

Усечённый большой звёздчатый многогранник — это вырожденный многогранник, имеющий 20 треугольных граней, оставшихся от усечённых вершин и 12 (скрытых) пятиугольных граней, оставшихся от исходных граней. Последние образуют большой додекаэдр, вписанный в икосаэдр и имеющий с ним общие рёбра.

Название	Большой звёздчатый додекаэдр	Усечённый большой звёздчатый додекаэдр	Большой икосододекаэдр	Усечённый большой икосаэдр^[en]	Большой икосаэдр
Диаграмма Коксетера
Рисунок

ПримечанияПравить

↑ Веннинджер, 1974, с. 45, 50.
↑ Люстерник, 1956, с. 179-180.
↑ Энциклопедия элементарной математики, том IV, с. 443-446.

ЛитератураПравить

М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: ГИТТЛ, 1956.
Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. Энциклопедия элементарной математики. — ГИФМЛ, 1963. — Т. IV.

СсылкиПравить

Eric W. Weisstein^[en] Great Stellated Dodecahedron (Uniform polyhedron) на MathWorld
- Weisstein, Eric W. Three stellations of the dodecahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Uniform polyhedra and duals

[_8f572fdd280d76ee-1] Веннинджер, 1974, с. 45, 50.

[_ff70ad8bd0224241-2] Люстерник, 1956, с. 179-180.

[_101325da857cb472-3] Энциклопедия элементарной математики, том IV, с. 443-446.

[1]

[2]

[3]