Соглашение Эйнштейна

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности, теории упругости и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна (также известно как «правило суммирования Эйнштейна»): если одна и та же буква в обозначении индекса встречается в одночлене и сверху, и снизу, то такой одночлен полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

$v_k=a_i{b}_k^i$$v_k= a_ib^i_k$

индекс $i$$i$ встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

$v_k=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_i{b}_k^i.$$v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.$

Точнее

$v_k=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{b}_k^i,$$v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k,$

где $n$$n$ — размерность пространства, на котором определены $a$$a$ и $b$$b$ (здесь предполагается, что нумерация координат начинается с единицы).

Индекс, по которому проводится суммирование, называется немым; он может быть заменён любой буквой, при этом значение выражения, в которое он входит, не меняется (очевидно, что $a_i{b}^i\equiv <!--\; \equiv \; -->a_j{b}^j$$a_{i}b^{i}\equiv a_{j}b^{j}$). Если индекс не является немым (свободный индекс), он должен встречаться в одинаковом положении в обеих частях (не)равенства; фактически в этом случае одно выражение представляет собой систему выражений (равенств или неравенств), число которых равно n^s, где s — количество свободных индексов. Например, если размерность n = 4, то выражение

$r_{lk}=p_{li}{q}_k^i$$r_{lk}=p_{li}q_{k}^{i}$

с двумя свободными индексами k и l представляет собой краткую запись 4²=16 равенств, в правой части каждого из которых стоит сумма четырёх произведений:

$r_{11}=p_{11}{q}_1^1+p_{12}{q}_1^2+p_{13}{q}_1^3+p_{14}{q}_1^4;$$r_{11}=p_{11}q_{1}^{1}+p_{12}q_{1}^{2}+p_{13}q_{1}^{3}+p_{14}q_{1}^{4};$

$r_{12}=p_{11}{q}_2^1+p_{12}{q}_2^2+p_{13}{q}_2^3+p_{14}{q}_2^4;$$r_{12}=p_{11}q_{2}^{1}+p_{12}q_{2}^{2}+p_{13}q_{2}^{3}+p_{14}q_{2}^{4};$

$...$$...$

$r_{44}=p_{41}{q}_4^1+p_{42}{q}_4^2+p_{43}{q}_4^3+p_{44}{q}_4^4.$$r_{44}=p_{41}q_{4}^{1}+p_{42}q_{4}^{2}+p_{43}q_{4}^{3}+p_{44}q_{4}^{4}.$

В случае использования выражений в виде дробей, таких как частные производные, верхние индексы, записываемые в знаменателе, считаются для применения правила как бы нижними и наоборот; например, выражение

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}d{x}_i,$$\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i},$

записывается в виде

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}d{x}_i$${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}$

или в ещё более простом виде, когда запятая перед индексом обозначает частное дифференцирование по соответствующей координате:

$f^{,i}d{x}_i.$$f^{,i}dx_{i}.$

В некоторых случаях (если метрический тензор полагается всегда равным δ_ik) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$

$D_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{n}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{D}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{n}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.$$D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }.$

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать $D_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{n}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$D^{\alpha}_{\beta}n_\alpha$.