Поток средней кривизны

Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии, в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве.

Поток деформирует поверхность в нормальном направлении со скоростью, равной её средней кривизне. Например, сфера под действием потока сжимается в точку.

УравнениеПравить

Однопараметрическое семейство поверхностей $f_t:<!--\; :\; -->S\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->M$$f_{t}\colon S\hookrightarrow M$  является потоком средней кривизны, если

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_t(x)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=H_t(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->n(x),$${\frac {\partial f_{t}(x)}{\partial t}}=H_{t}(x)\cdot n(x),$ 

где $H_t(x)$$H_{t}(x)$  и $n(x)$$n(x)$  обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности $f_t(S)$$f_{t}(S)$  в точке $f_t(x)$$f_{t}(x)$ .

СвойстваПравить

• Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных.
  • В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра.
• Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны.
• Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
• Формула монотонности Хуйскена^[en]
• Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба.
  • В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны.

См. такжеПравить

• Укорачивающий поток — частный случай потока средней кривизны для кривых на плоскости.
• Поток Риччи — близкая конструкция для деформации римановых многообразий.

ПримененияПравить

• Поток предоставляет естественную операцию сглаживания для гиперповерхностей. В частности, даёт аппроксимацию данной $C^2$$C^{2}$ -гладкой гиперповерхности аналитическими.

ЛитератураПравить

• Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow, vol. 57, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3243-3, DOI 10.1007/978-0-8176-8210-1 .
• Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow, vol. 290, Progress in Mathematics, Basel: Birkhäuser/Springer, ISBN 978-3-0348-0144-7, DOI 10.1007/978-3-0348-0145-4 .
• Lu, Conglin; Cao, Yan & Mumford, Davidd (2002), Surface evolution under curvature flows, Journal of Visual Communication and Image Representation Т. 13 (1-2): 65–81, DOI 10.1006/jvci.2001.0476 . См., в частности, уравнения 3a и 3b.