Порядок на мономах

Мономиальный порядок — линейный порядок $>$$>$ на пространстве мономов (со старшим коэффициентом 1) в данном кольце многочленов, такой что для любой тройки мономов $u,v,w$$u,v,w$, если $u\ge <!--\; \ge \; -->v$$u\geq v$, то и $uw\ge <!--\; \ge \; -->vw$$uw\geq vw$.

Мономиальные порядки используются для построения базисов Грёбнера и определения операции деления с остатком в кольцах многочленов с несколькими переменными. В частности, свойство набора многочленов быть базисом Грёбнера зависит от выбора конкретного мономиального порядка.

ПримерыПравить

1. Лексикографический (словарный) порядок $x_1>x_2>..>x_n$$x_{1}>x_{2}>..>x_{n}$ 

$x_1^{k_1}...x_n^{k_n}>x_1^{l_1}...x_n^{l_n}⟺<!--\; ⟺\; -->$$x_{1}^{k_{1}}...x_{n}^{k_{n}}>x_{1}^{l_{1}}...x_{n}^{l_{n}}\Longleftrightarrow$  (существует такое $i:k_i>l_i$$i:k_{i}>l_{i}$  и $k_j=l_j$$k_{j}=l_{j}$  при $j<i$ )

Проще говоря, происходит упорядочивание переменных в одночленах в алфавитном порядке до первого различия в одночленах ($x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{3}x_{4}^{11}<x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{6}x_{4}^{2}$ )

2. Степенно-словарный порядок

$u=x_1^{k_1}...x_n^{k_n}>v=x_1^{l_1}...x_n^{l_n}⟺<!--\; ⟺\; -->\sum <!--\; \sum \; -->k_i>\sum <!--\; \sum \; -->l_i$$u=x_{1}^{k_{1}}...x_{n}^{k_{n}}>v=x_{1}^{l_{1}}...x_{n}^{l_{n}}\Longleftrightarrow \sum k_{i}>\sum l_{i}$  или $\sum <!--\; \sum \; -->k_i=\sum <!--\; \sum \; -->l_i$$\sum k_{i}=\sum l_{i}$ , но при этом $u>v$$u>v$  в словарном порядке

Происходит упорядочивание по сумме степеней; в случае равенства сумм происходит сравнение по словарному порядку ($x_1^2{x}_2^7{x}_3^3{x}_4^{11}>x_1^2{x}_2^7{x}_3^6{x}_4^2$$x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{3}x_{4}^{11}>x_{1}^{2}x_{2}^{7}x_{3}^{6}x_{4}^{2}$ )