Непрерывная дробь

Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

$[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots <!--\; \cdots \; -->]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots <!--\; \dots \; -->}}},$$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}},$

где $a_0$$a_{0}$ есть целое число, а все остальные $a_n$$a_n$ — натуральные числа (положительные целые). При этом числа $a_0,a_1,a_2,a_3,\dots <!--\; \dots \; -->$$a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ называются неполными частными или элементами цепной дроби.

Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.

Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.

Разложение в цепную дробьПравить

Любое вещественное число $x$$x$  может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots <!--\; \dots \; -->]$$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ , где

$a_0=\lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,x_0=x-<!--\; -\; -->a_0,$$a_{0}=\lfloor x\rfloor ,\quad x_{0}=x-a_{0},$ 

$a_1=\lfloor \frac{1}{x_0}\rfloor ,x_1=\frac{1}{x_0}-<!--\; -\; -->a_1,$$a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},$ 

$\dots <!--\; \dots \; -->$$\dots$ 

$a_n=\lfloor \frac{1}{x_{n-<!--\; -\; -->1}}\rfloor ,x_n=\frac{1}{x_{n-<!--\; -\; -->1}}-<!--\; -\; -->a_n,$$a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},$ 

$\dots <!--\; \dots \; -->$$\dots$ 

где $\lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->$$\lfloor x\rfloor$  обозначает целую часть числа $x$$x$ .

Для рационального числа $x$$x$  это разложение оборвётся по достижении нулевого $x_n$$x_{n}$  для некоторого $n$$n$ . В этом случае $x$$x$  представляется конечной цепной дробью $x=[a_0;a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n]$$x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ . Эффективным алгоритмом для преобразования обычной дроби в цепную является алгоритм Евклида. Представление рационального числа в виде непрерывной дроби неоднозначно: если приведённый здесь алгоритм даёт непрерывную дробь $[\dots <!--\; \dots \; -->,a_n]$$[\dots ,a_{n}]$ , то непрерывная дробь $[\dots <!--\; \dots \; -->,a_n-<!--\; -\; -->1,1]$$[\dots ,a_{n}-1,1]$  соответствует тому же самому числу.

Для иррационального $x$$x$  все величины $x_n$$x_{n}$  будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае $x$$x$  представляется бесконечной цепной дробью $x=[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots <!--\; \dots \; -->]$$x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ . Если последовательность $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots <!--\; \dots \; -->]$$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$  состоит из бесконечно повторяющегося набора одних и тех же чисел (периода), то цепная дробь называется периодической. Число представляется бесконечной периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью, то есть иррациональным корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Подходящие дробиПравить

 

Подходящие дроби для золотого сечения

n-й («энной») подходящей дробью для цепной дроби $x=[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots <!--\; \dots \; -->]$$x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$  называется конечная цепная дробь $[a_0;a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n]$$[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ , значение которой есть некоторое рациональное число $p_n/q_n$$p_{n}/q_{n}$ . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен $x$$x$ . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен $x$$x$ . Таким образом, значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

$p_{-<!--\; -\; -->1}=1,p_0=a_0,p_n=a_n{p}_{n-<!--\; -\; -->1}+p_{n-<!--\; -\; -->2};$$p_{{-1}}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{{n-1}}+p_{{n-2}};$ 

$q_{-<!--\; -\; -->1}=0,q_0=1,q_n=a_n{q}_{n-<!--\; -\; -->1}+q_{n-<!--\; -\; -->2}.$$q_{{-1}}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{{n-1}}+q_{{n-2}}.$ 

Таким образом, величины $p_n$$p_n$  и $q_n$$q_{n}$  являются полиномами от $a_0,a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$ , называемыми континуантами:

$p_n=K_{n+1}(a_0,a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n),$$p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}),$ 

$q_n=K_n(a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n).$$q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).$ 

Последовательности как числителей $\{p_n\}$$\{p_{n}\}$ , так и знаменателей $\{q_n\}$$\{q_{n}\}$  подходящих дробей являются строго возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением

$p_n{q}_{n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->q_n{p}_{n-<!--\; -\; -->1}=(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}.$$p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.$

(1)

Подходящие дроби, как видно из этого соотношения, всегда несократимы. Перепишем соотношение в виде

$\frac{p_n}{q_n}-<!--\; -\; -->\frac{p_{n-<!--\; -\; -->1}}{q_{n-<!--\; -\; -->1}}=\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}}{q_{n-<!--\; -\; -->1}{q}_n}.$${\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}={\frac {(-1)^{{n-1}}}{q_{{n-1}}q_{n}}}.$ 

Отсюда следует, что

$\left|x-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}\right|<{\frac {1}{q_{{n-1}}q_{n}}}<{\frac {1}{q_{{n-1}}^{2}}}.$ 

Приближение вещественных чисел рациональнымиПравить

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число $x$$x$  разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

$\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.$ 

Следствия:

1. Подходящая дробь $p_n/q_n$$p_{n}/q_{n}$  является наилучшим приближением исходного числа среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит $q_n.$$q_{n}.$ 
2. Мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

ПримерыПравить

Разложим число $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=\mathrm{3,141}59265\dots <!--\; \dots \; -->$$\pi =3{,}14159265\dots$  в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:

$3,\frac{22}{7},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{103993}{33102},\dots <!--\; \dots \; -->$$3,\ {\frac {22}{7}},\ {\frac {333}{106}},\ {\frac {355}{113}},\ {\frac {103993}{33102}},\ \dots$ 

Вторая подходящая дробь $22/7$$22/7$  — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь $355/113$$355/113$  была впервые получена в Древнем Китае.

Свойства золотого сеченияПравить

Ниже приведено разложение золотого сечения:

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=[1;1,1,1,\dots <!--\; \dots \; -->].$$\Phi =[1;1,1,1,\dots ].$ 

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  не использует чисел, больших 1, состоит в том, что $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  является одним из самых «плохо» приближаемых чисел. Точнее, теорема Гурвица утверждает, что любое действительное число $r$$r$  может быть приближено дробью $m/n$$m/n$  так, что

$\left|r-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{n^{2}{\sqrt {5}}}}.$ 

Хотя практически все действительные числа $r$$r$  имеют бесконечно много приближений $m/n$$m/n$ , которые находятся на значительно меньшем расстоянии от $r$$r$ , чем эта верхняя граница, приближения для $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  (то есть чи́сла 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно $1/(n^2\sqrt{5})$$1/(n^{2}{\sqrt {5}})$  от $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$ , тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Можно показать, что этим свойством обладает любое действительное число вида $(a+b\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->})/(c+d\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->})$$(a+b\Phi )/(c+d\Phi )$ , где $a,b,c$$a,b,c$  и $d$$d$  являются целыми числами, причём $ad-<!--\; -\; -->bc=\pm <!--\; \pm \; -->1$$ad-bc=\pm 1$ ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Свойства и примерыПравить

• Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

  $9/4=[2;3,1]=[2;4].$$9/4=[2;3,1]=[2;4].$ 

• Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Например:

$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,\dots <!--\; \dots \; -->],$${\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ],$ 

$\sqrt{42}=[6;2,12,2,12,2,12\dots <!--\; \dots \; -->],$${\sqrt {42}}=[6;2,12,2,12,2,12\dots ],$ 

золотое сечение $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=[1;1,1,1,\dots <!--\; \dots \; -->].$$\Phi =[1;1,1,1,\dots ].$ 

• Теорема Гаусса — Кузьмина: почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел распределение элементов соответствующих им цепных дробей подчиняется статистике Гаусса — Кузьмина; в частности, существует среднее геометрическое всех элементов, и оно равно постоянной Хинчина.
• Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа $x$$x$  в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие $n$$n$ , то говорят, что число $x$$x$  относится к классу $F(n)$$F(n)$ . Любое вещественное число может быть представлено в виде суммы двух чисел из класса $F(4)$$F(4)$  и в виде произведения двух чисел из класса $F(4).$$F(4).$  В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представлено в виде суммы трёх чисел из класса $F(3)$$F(3)$  и в виде суммы четырёх чисел из класса $F(2)$$F(2)$ . Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.

Открытые проблемыПравить

Предпринимались попытки найти закономерности в разложениях в непрерывную дробь кубических иррациональностей, а также других алгебраических чисел степени, большей 2, и трансцендентных чисел. Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, основание натурального логарифма представимо в виде

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots <!--\; \dots \; -->,1,1,2n-<!--\; -\; -->2,1,1,2n,\dots <!--\; \dots \; -->],$$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ],$ 

а тангенс угла в 1 радиан — в виде

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\dots <!--\; \dots \; -->,1,2n+1,1,2n+3,\dots <!--\; \dots \; -->].$$\operatorname {tg} 1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ].$ 

У числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  простой закономерности не видно:

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots <!--\; \dots \; -->]$$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]$ 

Однако для обобщённой непрерывной дроби (см. ниже раздел Вариации и обобщения) прослеживается ясная закономерность.

Неизвестно, ограничены ли сверху неполные частные разложения таких чисел, как $\sqrt[3]{2}$${\sqrt[ {3}]{2}}$  или $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ .

Приложения цепных дробейПравить

Теория календаряПравить

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

$\frac{1}{4};\frac{7}{29};\frac{8}{33};\frac{31}{128};\frac{132}{545}\cdots <!--\; \cdots \; -->$$\frac{1}{4};\ \frac{7}{29};\ \frac{8}{33};\ \frac{31}{128};\ \frac{132}{545} \cdots$ 

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось, поскольку оно мало отличается от следующего, гораздо более точного. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864 год), однако большого интереса он не вызвал.

Теория музыкиПравить

В теории музыки при построении равномерно темперированного строя требуют, чтобы интервал октавы $2:1$$2:1$  делился на $n$$n$  равных частей, и при этом интервал из $m$$m$  таких частей был по возможности близок к интервалу квинты $3:2$$3:2$ . Эти требования приводят к задаче отыскания рационального приближения для ${\log }_2<!--\; \; -->1,5\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,585}$$\log _{2}1{,}5\approx 0{,}585$ . Третья подходящая дробь $3/5$$3/5$  даёт равномерно темперированную пентатонику. Четвёртая подходящая дробь $7/12$$7/12$  приводит к классическому делению октавы на 12 равных полутонов.

Решение сравнений первой степениПравить

Рассмотрим сравнение: $ax\equiv <!--\; \equiv \; -->b(\mathrm{mod}m)$$ax\equiv b{\pmod m}$ , где $a,b$$a,\ b$  известны, причём можно считать, что $a$$a$  взаимно просто с $m$$m$ . Надо найти $x$$x$ .

Разложим $\frac{m}{a}$${\frac {m}{a}}$  в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь $\frac{p_n}{q_n}=\frac{m}{a}$${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}$ . Подставим в формулу (1):

$m{q}_{n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->a{p}_{n-<!--\; -\; -->1}=(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}.$$mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.$ 

Отсюда вытекает:

$a{p}_{n-<!--\; -\; -->1}\equiv <!--\; \equiv \; -->(-<!--\; -\; -->1{)}^n(\mathrm{mod}m),$$ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m}},$ 

или

$a(-<!--\; -\; -->1{)}^n{p}_{n-<!--\; -\; -->1}\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}m).$$\ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m}}.$ 

Вывод: класс вычетов $x\equiv <!--\; \equiv \; -->(-<!--\; -\; -->1{)}^n{p}_{n-<!--\; -\; -->1}b(\mathrm{mod}m)$$x\equiv (-1)^{n}p_{{n-1}}b{\pmod m}$  является решением исходного сравнения.

Другие приложенияПравить

• Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(3)$$\zeta (3)$  (константа Апери)
• Решение в целых числах уравнения Пелля: $x^2-<!--\; -\; -->n{y}^2=1$$\;x^{2}-ny^{2}=1\;$  и других уравнений диофантова анализа
• Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)
• Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC.
• Характеристика ортогональных многочленов
• Характеристика устойчивых многочленов

Вариации и обобщенияПравить

Ряд источников дают обобщённое определение непрерывной дроби, допуская для числителей в её звеньях не только 1, но и другие целые (в некоторых источниках допускаются даже комплексные) числа:

$[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots <!--\; \dots \; -->]=a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\dots <!--\; \dots \; -->}}}.$$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}.$ 

Это обобщение повышает гибкость теории, но имеет два недостатка: разложение вещественного числа в непрерывную дробь становится неоднозначным и, кроме того, существование предела подходящих дробей уже не гарантировано — предел может быть бесконечен или вообще отсутствовать.

Для обобщённых непрерывных дробей формулы Эйлера имеют вид:

$p_{-<!--\; -\; -->1}=1,p_0=a_0,p_n=a_n{p}_{n-<!--\; -\; -->1}+b_n{p}_{n-<!--\; -\; -->2};$$p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + b_n p_{n-2};$ 

$q_{-<!--\; -\; -->1}=0,q_0=1,q_n=a_n{q}_{n-<!--\; -\; -->1}+b_n{q}_{n-<!--\; -\; -->2}.$$q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + b_n q_{n-2}.$ 

При этом

$p_n{q}_{n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->q_n{p}_{n-<!--\; -\; -->1}=(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}{b}_1{b}_2\dots <!--\; \dots \; -->b_n.$$p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\dots b_{n}.$ 

Частный случай, в котором все $b_n=-<!--\; -\; -->1$$b_{n}=-1$ , называется непрерывной дробью Хирцебруха.

Выше было сказано, что разложение числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  в классическую непрерывную дробь не содержит видимой закономерности. Для обобщённой же непрерывной дроби имеет место формула Браункера:

$\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}=\frac{1}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\frac{9^2}{2+\ddots <!--\; \ddots \; -->}}}}}}$${\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}$ 

Другое направление обобщения состоит в построении и применении аппарата непрерывных дробей не для чисел, а для многочленов — используется тот факт, что делимость многочленов по своим свойствам близка к делимости целых чисел. Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь:

$\frac{b_1}{a_1+\frac{b_{2}x}{a_2+\frac{b_{3}x}{a_3+\dots <!--\; \dots \; -->}}}.$${\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+\ldots }}}}}}.$ 

Пример: получим разложение для функции $f(x)=\frac{1-<!--\; -\; -->x}{1-<!--\; -\; -->5x+6x^2}$$f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2}}}$ :

$f(x)=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->\frac{4x}{1-<!--\; -\; -->\frac{2x}{-<!--\; -\; -->4+6x}}}.$$f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x}}}}}}.$ 

Можно установить соответствие между непрерывными дробями и углами на решётках на плоскости. В связи с этим существуют различные варианты «многомерных непрерывных дробей».

Историческая справкаПравить

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение $\sqrt{3}\approx <!--\; \approx \; -->\frac{1351}{780}$${\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}$  — это 12-я подходящая дробь для $\sqrt{3}$$\sqrt{3}$  или одна треть от 4-й подходящей дроби для $\sqrt{27}$${\sqrt {27}}$ .

 

Книга Катальди

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение для исходного числа.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

См. такжеПравить

• Алгоритм Евклида
• Континуанта
• Несократимая дробь
• Разложение Энгеля
• Числа Фибоначчи

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Бескин Н. М. Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.
• Бескин Н. М. Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.
• Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. — К.: Наука, 1986. — 174 с.
• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
• Вычисления в алгебре и теории чисел / Пер. с англ. Э. Г. Белаги, под ред. Б. Б. Венкова и Д. К. Фаддеева. — М.: Мир, 1976. — (Математика. Новое в зарубежной науке).
• Гладковский С. Н. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.
• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — Изд. 2-е. — М.: Физматлит, 1963. — С. 53—73. — 660 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.
• Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М.: Наука, 1965.
• Сизый С. В. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и её применение в вычислительной математике. — М.: Наука, 1983. — 312 с.
• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.
• Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. — М.: Гостехиздат, 1956. — 204 с.
• Brezinski C. History of continued fractions and Padé approximants. NY: Springer, 1980.
• Karpenkov O. Geometry of Continued Fractions. — Springer, 2013. — ISBN 978-3-642-39367-9.