Континуанта

Континуанта — определённый многочлен от нескольких переменных, связанный с цепными дробями.

ОпределенияПравить

РекурентноеПравить

Континуанта индекса n есть многочлен $K_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)$ , определяемый рекуррентным соотношением:

$K_{-<!--\; -\; -->1}=0,K_0=1,$$K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1,$ 

$K_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=x_n{K}_{n-<!--\; -\; -->1}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n-<!--\; -\; -->1})+K_{n-<!--\; -\; -->2}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n-<!--\; -\; -->2}).$$K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-2}).$ 

Через определительПравить

Континуанта может быть также определена как определитель трёхдиагональной матрицы

$K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.$ 

СвойстваПравить

• Континуанта $K_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)$  есть сумма всех одночленов, получаемых из одночлена $x_1\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->x_n$$x_1\cdot\ldots\cdot x_n$  вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных (правило Эйлера).
  • Пример:

    $K_5(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5+x_3{x}_4{x}_5+x_1{x}_4{x}_5+x_1{x}_2{x}_5+x_1{x}_2{x}_3+x_1+x_3+x_5.$$K_5(x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4,\;x_5) = x_1 x_2 x_3 x_4 x_5\; +\; x_3 x_4 x_5\; +\; x_1 x_4 x_5\; +\; x_1 x_2 x_5\; +\; x_1 x_2 x_3\; +\; x_1\; +\; x_3\; +\; x_5.$ 

  • Следствие:

    Континуанты обладают зеркальной симметрией: $K_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=K_n(x_n,\dots <!--\; \dots \; -->,x_1).$$K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = K_n(x_n,\;\ldots,\;x_1).$ 

• $K_n(1,\dots <!--\; \dots \; -->,1)=F_{n+1}$$K_n(1,\;\ldots,\;1) = F_{n+1}$  — число Фибоначчи.
• Справедливо тождество:

  $\frac{K_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}{K_{n-<!--\; -\; -->1}(x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}=x_1+\frac{K_{n-<!--\; -\; -->2}(x_3,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}{K_{n-<!--\; -\; -->1}(x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}$$\frac{K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}(x_3,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)}$ 

• В поле рациональных дробей

  $\frac{K_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}{K_{n-<!--\; -\; -->1}(x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)}=[x_1;x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n]=x_1+\frac{1}{x_2+\frac{1}{x_3+\dots <!--\; \dots \; -->}}$$\frac{K_n(x_1,\;\ldots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = [x_1;\;x_2,\;\ldots,\;x_n] = x_1 + \frac{1}{\displaystyle{x_2 + \frac{1}{x_3 + \ldots}}}$  — цепная дробь.

• Справедливо матричное соотношение:

  $\begin{pmatrix} K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) \\ K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\ldots\times\begin{pmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

  • Откуда для определителей получается тождество:

    $K_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\cdot <!--\; \cdot \; -->K_{n-<!--\; -\; -->2}(x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n-<!--\; -\; -->1})-<!--\; -\; -->K_{n-<!--\; -\; -->1}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n-<!--\; -\; -->1})\cdot <!--\; \cdot \; -->K_{n-<!--\; -\; -->1}(x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n.$$K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n}) = (-1)^n.$ 

  • А также:

    $K_{n-<!--\; -\; -->1}(x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\cdot <!--\; \cdot \; -->K_{n+2}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n+2})-<!--\; -\; -->K_n(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\cdot <!--\; \cdot \; -->K_{n+1}(x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n+2})=(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+1}{x}_{n+2}.$$K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n+2}) - K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.$ 

СсылкиПравить

• Сизый С. В. Лекции по теории чисел. — Учебное пособие для математических специальностей. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — ISBN 5-02-014727-3.