Подобие

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек $A$$A$, $B$$B$ и их образов $A^{\prime }$$A'$, $B^{\prime }$$B'$ имеет место соотношение $|A^{\prime }{B}^{\prime }|=k\cdot <!--\; \cdot \; -->|AB|$$|A'B'|=k\cdot |AB|$, при некотором фиксированном $k\ne <!--\; \ne \; -->0$$k\neq 0$, называемым коэффициентом подобия.

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета

Понятие подобия определяется аналогично для метрических, для римановых пространств (см. раздел Обобщения).

ИсторияПравить

Подобные фигуры рассматривались в Древней Греции в V—IV веках до нашей эры; они появляются в трудах Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и в VI книге «Начал» Евклида.

Частные случаиПравить

• Гомотетией называется подобие, имеющее неподвижную точку и сохраняющее ориентацию.
• Движением называется преобразование подобия с коэффициентом $k=1$$k=1$ , то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.

Связанные определенияПравить

• Фигура $F$$F$  называется подобной фигуре $F^{\prime }$$F'$ , если существует преобразование подобия, при котором $F\mapsto <!--\; \mapsto \; -->F^{\prime }$$F\mapsto F'$ .
  • Подобие фигур является отношением эквивалентности.
  • Для обозначения подобия обычно используется значок $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  — $F\sim <!--\; \sim \; -->F^{\prime }$$F\sim F'$  означает, что фигуры $F$$F$  и $F^{\prime }$$F'$  подобны.

Метод подобияПравить

Подобие фигур применяется к решению многих задач на построение.

Метод подобия состоит в том, что, пользуясь некоторыми данными задачи, строят сначала фигуру, подобную искомой, а затем переходят к искомой. Этот метод особенно удобен тогда, когда только одна данная величина есть длина, а все прочие величины — или углы, или отношения линий.

Классическим примером задачи на метод подобия является построение окружности, касающейся двух сторон данного угла и проходящей через данную точку.

СвойстваПравить

• Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
• Подобие является аффинным преобразованием плоскости.
• Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка $B$$B$  лежит между точками $A$$A$ , $C$$C$  и $B^{\prime }$$B'$ , $A^{\prime }$$A'$ , $C^{\prime }$$C'$  — соответствующие их образы при некотором подобии, то $B^{\prime }$$B'$  также лежит между точками $A^{\prime }$$A'$  и $C^{\prime }$$C'$ .
• Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
• Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
• Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
• Подобие с коэффициентом $k\ne 1$$k\not =1$ , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом $k$$k$  или $-<!--\; -\; -->k$$-k$ .
  • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения $D$$D$  и некоторой гомотетии $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  с положительным коэффициентом.
  • Подобие называется собственным (несобственным), если движение $D$$D$  является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
• Два треугольника в евклидовой геометрии являются подобными, если
  • их соответственные углы равны, или
  • стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
• Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.

ОбобщенияПравить

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в $n$$n$ -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет $r$$r$ -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов $r$$r$ -членная группа подобных преобразований Ли содержит $(r-<!--\; -\; -->1)$$(r-1)$ -членную нормальную подгруппу движений.

См. такжеПравить

• Гомеоморфизм
• Конгруэнтность (геометрия)
• Конформное отображение
• Масштаб (коэффициент подобия)
• Признаки подобия треугольников
• Пропорциональность
• Самоподобие
• Симметрия

СсылкиПравить

• Равенство и подобие геометрических фигур.
• Граве Д. А. Гомотетические фигуры // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Подобие // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — С. 373. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.