Признаки подобия треугольников

Подобные треугольники в евклидовой геометрии — треугольники, углы у которых соответственно равны, а стороны соответственно пропорциональны. Являются подобными фигурами.

В данной статье рассматриваются свойства подобных треугольников в евклидовой геометрии. Некоторые утверждения являются неверными для неевклидовых геометрий.

Признаки подобия треугольниковПравить

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов определения.

Первый признакПравить

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

то есть: $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1\iff <!--\; \iff \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{A}_1,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{B}_1.$$\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1 \Leftrightarrow \angle A = \angle A_1,\ \angle B= \angle B_1.$ 

Дано: $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$  и $\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{A}_1,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{B}_1.$$\triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1.$ 

Доказать: $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1.$$\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$ 

Доказательство

Из теоремы о сумме углов треугольника можно получить, что все углы треугольников равны. Расположим их так, чтобы угол $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BAC$$\angle BAC$  наложился с углом $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{B}_1{A}_1{C}_1$$\angle B_{1}A_{1}C_{1}$ . Из обобщенной теоремы Фалеса (ее можно доказать без подобия, смотрите например учебник по геометрии 7-9 Шарыгина или Погорелова) $AC/A_1{C}_1=BC/B_1{C}_1$$AC/A_{1}C_{1}=BC/B_{1}C_{1}$ . Аналогично можно доказать, что равны отношения и других соответственных сторон, значит треугольники подобны по определению, ч.т.д.

Следствия первого признака подобияПравить

• Если три стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трем сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника подобны. Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: «Примеры подобных треугольников» и «Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников».
• Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника, то есть просто параллельны. Следовательно, подобны, например, ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник как треугольники с параллельными сторонами.

Второй признакПравить

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$  и $\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1,\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{A}_1,\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{AC}{A_1{C}_1}.$$\triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$ 

Доказать: $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1.$$\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$ 

Доказательство

 

1) Рассмотрим $\mathrm{△<!--\; △\; -->}AB{C}_2$$\triangle ABC_2$ , в котором $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BA{C}_2=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{A}_1$$\angle BAC_2=\angle A_1$  и $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AB{C}_2=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{B}_1:$$\angle ABC_2=\angle B_1:$ 

$\mathrm{△<!--\; △\; -->}AB{C}_2\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1$$\triangle ABC_2\sim \triangle A_1 B_1 C_1$  (первый признак) $\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{A{C}_2}{A_1{C}_1}.$$\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.$ 

2) По условию:

$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{AC}{A_1{C}_1}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->AC=A{C}_2\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC=\mathrm{△<!--\; △\; -->}AB{C}_2$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\Rightarrow AC=AC_2 \Rightarrow \triangle ABC = \triangle ABC_2$  (первый признак) $\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AB{C}_2\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1$$\Rightarrow \angle B=\angle ABC_2 \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1$  (первый признак).

Третий признакПравить

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC$$\triangle ABC$  и $\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1,\frac{AB}{A_1{B}_1}$$\triangle A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}$  = $\frac{AC}{A_1{C}_1}$$\frac{AC}{A_1C_1}$  = $\frac{BC}{B_1{C}_1}$$\frac{BC}{B_1C_1}$ .

Доказать: $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1.$$\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$ 

Доказательство

1) Рассмотрим $\mathrm{△<!--\; △\; -->}AB{C}_2$$\triangle ABC_2$ , в котором $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BA{C}_2=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{A}_1$$\angle BAC_2=\angle A_1$  и $\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AB{C}_2=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{B}_1:$$\angle ABC_2=\angle B_1:$ 

$\mathrm{△<!--\; △\; -->}AB{C}_2\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1$$\triangle ABC_2\sim \triangle A_1 B_1 C_1$  (первый признак) $\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{A{C}_2}{A_1{C}_1}.$$\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.$ 

2) По условию:

$\frac{AB}{A_1{B}_1}$$\frac{AB}{A_1B_1}$  = $\frac{AC}{A_1{C}_1}$$\frac{AC}{A_1C_1}$  = $\frac{BC}{B_1{C}_1}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->$${\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}\Rightarrow \$  AC=AC₂, BC=BC₂ => ∆ABC = ∆ABC₂ (третий признак);
∆ABC₂ $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  ∆A₁B₁C₁ => $\mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}{A}_1{B}_1{C}_1$$\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ .

Признаки подобия прямоугольных треугольниковПравить

1. По острому углу — см. первый признак;
2. По двум пропорциональным катетам — см. второй признак;
3. По пропорциональному катету и гипотенузе — см. третий признак.

Свойства подобных треугольниковПравить

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
• Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Примеры подобных треугольниковПравить

Подобны следующие виды треугольников:

• Дополнительный треугольник и антидополнительный треугольник подобны; соответственные их стороны параллельны.
• Треугольник ABC подобен своему дополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 2:1.
• Треугольник ABC подобен своему антидополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 1:2.
• Исходный треугольник $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}ABC$$\Delta ABC$  по отношению к ортотреугольнику является треугольником трёх внешних биссектрис.
• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
• Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности сторон родственных треугольников.
• Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному. Здесь использованы определения:
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.
  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольниковПравить

• Соответственные стороны дополнительного треугольника, антидополнительного треугольника и исходного треугольника попарно параллельны.
• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Подобие в прямоугольном треугольникеПравить

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

• Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
• Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Связанные определенияПравить

• Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
• Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

См. такжеПравить

• Неравенство Пидо
• Подобие
• Признаки равенства треугольников
• Решение треугольников
• Среднее геометрическое
• Треугольник

ЛитератураПравить

• Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.:
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

СсылкиПравить

• Видео. Подобные треугольники
• Подобие треугольников
• Признаки подобия из учебника за восьмой класс