Поворот Вика

Поворот Вика — метод решения задач в пространстве Минковского посредством решения связанной задачи в евклидовом пространстве, используя комплексный анализ, в частности, понятие аналитического продолжения. Назван в честь Джанкарло Вика.

ОбзорПравить

Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:

$d{s}^2=-<!--\; -\; -->(d{t}^2)+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$$ds^{2}=-(dt^{2})+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ 

становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:

$d{s}^2=d{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$$ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ ,

если координата $t$$t$  принимает только мнимые значения. То есть задачу в пространстве Минковского с координатами $x$$x$ , $y$$y$ , $z$$z$ , $t$$t$ , заменяя $t=i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$t=i\tau$ , можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами $x$$x$ , $y$$y$ , $z$$z$ , $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ .

Статистическая и квантовая механикаПравить

Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры $1/(k_{B}T)$$1/(k_{B}T)$  мнимым временем $it/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$it/\hbar$ . Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре $T$$T$ . Относительная вероятность нахождения заданного осциллятора в состоянии с энергией $E$$E$  есть $\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->E/k_{B}T)$$\exp(-E/k_{B}T)$ , где $k_B$$k_B$  константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой $Q$$Q$ :

$⟨<!--\; ⟨\; -->Q⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{Z}\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}Q(j)e^{-<!--\; -\; -->E_j/(k_{B}T)}.$$\langle Q\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{j}Q(j)e^{-E_{j}/(k_{B}T)}.$ 

Сейчас рассмотрим один квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базовых состояний, за время $t$$t$  с Гамильтонианом $H$$H$ . Относительное изменение фаз базового состояния с энергией $E$$E$  есть $\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->Eit/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}),$$\exp(-Eit/\hbar ),$  где $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$  редуцированная постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний $|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}|j⟩<!--\; ⟩\; -->$$|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle$  приводит к произвольной суперпозиции $|Q⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{Q}_j|j⟩<!--\; ⟩\; -->$$|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle$  есть, пропуская нормирующий множитель,

$⟨<!--\; ⟨\; -->Q|e^{-<!--\; -\; -->iHt/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\;\langle Q|e^{{-iHt/\hbar }}|\psi \rangle$ 

$=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{Q}_j{e}^{-<!--\; -\; -->E_{j}it/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->j|j⟩<!--\; ⟩\; -->$$=\sum _{j}Q_{j}e^{{-E_{j}it/\hbar }}\langle j|j\rangle$ 

$=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{Q}_j{e}^{-<!--\; -\; -->E_{j}it/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}.$$=\sum _{j}Q_{j}e^{{-E_{j}it/\hbar }}.$ 

Статика и динамикаПравить

Поворот Вика связывает статические задачи в $n$$n$  измерениях с динамическими задачами в $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  измерениях, «заменяя» одно пространственное измерение на время. В случае, где $n=2$$n=2$  примером будет висящая струна с закреплёнными концами в гравитационном поле. Форма кривой струны задаётся функцией $y(x)$$y(x)$ . Струна находится в положении равновесия, когда энергия находится в экстремуме; этим экстремумом обычно является минимум, поэтому это носит название принципа наименьшей энергии. Чтобы посчитать энергию струны, мы проинтегрируем плотность энергии:

$E={\int <!--\; \int \; -->}_x\left[k{\left(\frac{dy(x)}{dx}\right)}^2+V(x)\right]dx,$$E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V(x)\right]dx,$ 

где $k$$k$  — коэффициент упругости струны и $V(x)$$V(x)$  — потенциальная энергия гравитации.

Соответственная динамическая задача — бросание камня вверх; на траектории камня, в соответствии с принципом наименьшего действия, достигается локальный минимум действия (действие — это интеграл от функции Лагранжа):

$S={\int <!--\; \int \; -->}_t\left[m{\left(\frac{dy(t)}{dt}\right)}^2-<!--\; -\; -->V(t)\right]dt$$S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(t)\right]dt$ 

Мы получили решение динамической задачи (с точностью до множителя $-<!--\; -\; -->i$$-i$ ) из решения статической при помощи поворота Вика, заменив $x$$x$  на $t$$t$ , $dx$$dx$  на $idt$$idt$ , и коэффициент упругости $k$$k$  на массу камня $m$$m$ :

$-<!--\; -\; -->iS={\int <!--\; \int \; -->}_t\left[m{\left(\frac{dy(t)}{idt}\right)}^2+V(t)\right](idt)$$-iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{idt}}\right)^{2}+V(t)\right](idt)$ 

$=-<!--\; -\; -->i{\int <!--\; \int \; -->}_t\left[m{\left(\frac{dy(t)}{dt}\right)}^2-<!--\; -\; -->V(t)\right]dt$$=-i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(t)\right]dt$ 

СсылкиПравить

• Wick rotation Архивная копия от 1 октября 2020 на Wayback Machine — a blog introduction
• A Spring in Imaginary Time Архивная копия от 29 августа 2009 на Wayback Machine — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
• Температурные функции Грина — здесь поворот Вика используется в квантовой статистики при конечных температурах.