Температурные функции Грина

Температурные функции Грина являются некоторой модификацией функций Грина для квантовомеханических систем с температурой отличной от нуля. Они удобны для вычисления термодинамических свойств системы, а также содержат информацию о спектре квазичастиц и о слабонеравновесных кинетических явлениях.

В системах со взаимодействием может быть построена соответствующая диаграммная техника для температурных функций Грина. Эта техника широко используется для изучения фазовых переходов (сверхпроводимость, сверхтекучесть, точка Кюри) в различных системах. Исследование подобных систем является нетривиальной задачей. Для описания самого механизма перехода и состояния ниже точки перехода модель невзаимодействующих частиц непригодна. Здесь решающую роль играет межчастичное взаимодействие. Учёт подобного взаимодействия значительно усложняет используемый математический аппарат. Аппарат температурных функций Грина можно развивать в двух эквивалентных формулировках: с помощью квантовомеханических операторов либо в методе функциональных интегралов. Одним из плюсов последнего метода является отсутствие проблем некоммутативности операторов поля и разного рода упорядочиваний.

Операторный подходПравить

Определение температурных функций ГринаПравить

Введём мацубаровские $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}$${\hat {\Psi }}$  — операторы в «гейзенберговском представлении» соотношениями:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathbf{r})=e^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r})e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})},$${\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},$  ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathbf{r})=e^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r}{)}^{+}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})}.$${\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}.$ 

В более общем случае эти операторы могут иметь спиновые индексы. В этих формулах $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  — вещественная переменная $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->(0,1/T)$$\tau \in (0,1/T)$ , поэтому операторы $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathbf{r})$${\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )$  и ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathbf{r})$${\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )$  не являются эрмитово-сопряженными, $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — химический потенциал системы, $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}$${\hat {H}}$  — гамильтониан системы, $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N}=\int <!--\; \int \; -->d\mathbf{r}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{+}(\mathbf{r})\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r})$${\hat {N}}=\int d\mathbf {r} {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} ){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )$  — оператор числа частиц. Операторы $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r})$${\hat {\psi }}(\mathbf {r} )$  и ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}^{+}(\mathbf{r})$${\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} )$  эрмитово-сопряженный операторы поля в шрёденгеровском представлении. Видно, что «гейзенберговское представление» мацубаровских операторов отличается от настоящего гейзенберговского представления заменой в последнем $t\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->i\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$t\rightarrow -i\tau$ , то есть формально это можно понимать как переход ко мнимому времени. Температурная функция Грина определяется следующим образом:

$G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},{\mathbf{r}}_1;{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime },{\mathbf{r}}_2)=-<!--\; -\; -->\frac{Tr\left\{e^{\frac{(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})}{T}}{T}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},{\mathbf{r}}_1)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime },{\mathbf{r}}_2)\right\}}{Tr\left\{e^{\frac{(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})}{T}}\right\}},$$G(\tau ,\mathbf {r} _{1};\tau ',\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}T_{\tau }{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} _{1}){\hat {\Psi }}(\tau ',\mathbf {r} _{2})\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}\right\}}},$ 

где символ $T_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$$T_{\tau }$  означает «$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  — хронологизацию» — расположение операторов слева на право в порядке убывания $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ . В случае ферми-частиц перестановка между собой операторов приводит к изменению общего знака. С помощью этой функции можно вычислить число частиц как функцию химического потенциала, или химический потенциал, как функцию концентрации и температуры: $N=\pm <!--\; \pm \; -->\int <!--\; \int \; -->d\mathbf{r}G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathbf{r};\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}+0,\mathbf{r}).$$N=\pm \int d\mathbf {r} G(\tau ,\mathbf {r} ;\tau +0,\mathbf {r} ).$ 

Случай свободных частицПравить

Гамильтониан свободной системы, выраженный через шрёдингеровские операторы поля, имеет вид:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H_0}=\int <!--\; \int \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r}{)}^{+}\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}{2m}\right)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r})d\mathbf{r},$$\quad {\hat {H_{0}}}=\int {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}\left(-{\frac {\Delta }{2m}}\right){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )d\mathbf {r} ,$ 

в представлении вторичного квантования он же запишется следующим образом:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H_0}=\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0(\mathbf{p}){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_{\mathbf{p}}^{+}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_{\mathbf{p}},{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0(\mathbf{p})=p^2/2m,$${\hat {H_{0}}}=\sum \varepsilon _{0}(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {p} },\quad \varepsilon _{0}(\mathbf {p} )=p^{2}/2m,$ 

что следует из определения $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$${\hat {\psi }}$ -операторов:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum <!--\; \sum \; -->e^{i\mathbf{p}\mathbf{r}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_{\mathbf{p}},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r}{)}^{+}=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum <!--\; \sum \; -->e^{-<!--\; -\; -->i\mathbf{p}\mathbf{r}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_{\mathbf{p}}^{+}.$${\hat {\psi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} },\qquad {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{-i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}.$ 

Температурная функция Грина свободных частиц в импульсно-«временном» представлении :

$G(\mathbf{p},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })=e^{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_0(\mathbf{p})(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })}\left(\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mp <!--\; \mp \; -->\frac{1}{e^{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_0(\mathbf{p})\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\pm <!--\; \pm \; -->1}\right),$$G(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right),$ 

здесь ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_0(\mathbf{p})={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0(\mathbf{p})-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1/T.$$\xi _{0}(\mathbf {p} )=\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )-\mu ,\quad \beta =1/T.$ 

Взаимодействующие частицыПравить

Предположим, что на систему частиц не действуют внешние поля, а межчастичные взаимодействия носят парный характер. Гамильтониан системы представим в виде: $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_{int}.$${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{int}.$  Введём мацубаровские операторы в представлении взаимодействия соотношениями:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathbf{r})=e^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r})e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})},$${\hat {\Phi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})},$  ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathbf{r})=e^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}(\mathbf{r}{)}^{+}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})}.$${\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}.$ 

Возмущённая часть гамильтониана выраженный через $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$${\hat {\Phi }}$  — операторы имеет вид:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_{int}=\frac{1}{2}\int <!--\; \int \; -->\int <!--\; \int \; -->d{\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}d{\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}({\mathbf{r}}_{\mathbf{1}},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}({\mathbf{r}}_{\mathbf{1}},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})U({\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_{\mathbf{2}})\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}({\mathbf{r}}_{\mathbf{2}},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}({\mathbf{r}}_{\mathbf{2}},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}).$${\hat {H}}_{int}={\frac {1}{2}}\int \int d\mathbf {r_{1}} d\mathbf {r_{2}} {\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{1}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{1}} ,\tau )U(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} ){\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{2}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{2}} ,\tau ).$ 

Через эти же операторы можно определить температурную функцию Грина:

$G({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1,{\mathbf{r}}_1;{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2,{\mathbf{r}}_2)=-<!--\; -\; -->\frac{Tr\left\{e^{({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{T}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1,{\mathbf{r}}_1){\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}}^{†<!--\; †\; -->}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2,{\mathbf{r}}_2)S(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})\right\}}{Tr\left\{e^{\frac{({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{N})}{T}}S(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})\right\}},$$G(\tau _{1},\mathbf {r} _{1};\tau _{2},\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})\beta }T_{\tau }{\hat {\Phi }}(\tau _{1},\mathbf {r} _{1}){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau _{2},\mathbf {r} _{2})S(\beta )\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{T}}S(\beta )\right\}}},$  $S(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=T_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\underset{0}{\overset{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_{int}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right).$$S(\beta )=T_{\tau }\exp {\left(-\int \limits _{0}^{\beta }{\hat {H}}_{int}(\tau )d\tau \right)}.$ 

Такая запись позволяет разложить экспоненту с возмущением и вычислять температурную функцию Грина в виде ряды, а каждый член ряда изображать графически в виде диаграммы.

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.

	Элементы Диаграммы	Аналитическое выражение
	название	изображение
1	Сплошная линия		$G_0({\mathbf{r}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_2,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2)$$G_{0}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\tau _{1}-\tau _{2})$
2	Сплошная линия		$G_0({\mathbf{r}}_2-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_1,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1)$$G_{0}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\tau _{2}-\tau _{1})$
3	Волнистая линия		$\mathfrak{U}(x_1-<!--\; -\; -->x_2)=U({\mathbf{r}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_2)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2)$${\mathfrak {U}}(x_{1}-x_{2})=U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\delta (\tau _{1}-\tau _{2})$
4	Изобразить все связные топологически неэквивалентные диаграммы с 2n вершинами и двумя внешними концами, причем в каждой вершине сходится две сплошные и одна волнистая линия.
5	Производится интегрирование по координатам ($d^{4}z=d\mathbf{r}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$d^{4}z=d\mathbf {r} d\tau$ ) каждой вершины.
6	Полученное выражение умножается на $(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+F}$$(-1)^{n+F}$ , n-порядок диаграммы, F-число замкнутых фермионных петель в ней.

Пользуясь этими правилами изобразим поправку первого порядка по возмущению к температурной функции Грина взаимодействующих частиц. Для этого нужно ограничиться линейным членом в разложение экспоненты. Тогда, привлекая во внимание теорему Вика, нарисуем все связные (любые две точки на диаграмме можно соединить линией) диаграммы первого порядка:

 

Соответствующее аналитическое выражение, например, для диаграммы 2 запишется следующим образом:

$Dia{g}_2(x-<!--\; -\; -->y)=-<!--\; -\; -->\iint <!--\; \iint \; -->d^{4}z{d}^{4}w{G}_0(x-<!--\; -\; -->z)G_0(z-<!--\; -\; -->w)G_0(w-<!--\; -\; -->y)\mathfrak{U}(z-<!--\; -\; -->w).$$Diag_{2}(x-y)=-\iint d^{4}zd^{4}wG_{0}(x-z)G_{0}(z-w)G_{0}(w-y){\mathfrak {U}}(z-w).$ 

Для расчётов координатное представление оказывается неудобным, поэтому всю диаграммную технику проще сформулировать в импульсно-частотном представлении, пользуясь обычными правилами фурье-анализа. В таком представлении аналитическое выражение рассматриваемой диаграммы примет вид:

$Dia{g}_2(\mathbf{p},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n)=-<!--\; -\; -->\frac{T}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^3}\underset{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_m}{\sum <!--\; \sum \; -->}\int <!--\; \int \; -->d{\mathbf{p}}_1{G}_0^2(\mathbf{p},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n)G_0({\mathbf{p}}_1,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_m)\mathfrak{U}(\mathbf{p}-<!--\; -\; -->{\mathbf{p}}_1,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_m),$$Diag_{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=-{\frac {T}{(2\pi )^{3}}}\sum \limits _{\omega _{m}}\int d\mathbf {p} _{1}G_{0}^{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})G_{0}(\mathbf {p} _{1},\omega _{m}){\mathfrak {U}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1},\omega _{n}-\omega _{m}),$ 

где функция Грина свободной системы имеет вид:

$G_0(\mathbf{p},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n)=\frac{1}{i{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0(\mathbf{p})+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},$$G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})={\frac {1}{i\omega _{n}-\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )+\mu }},$  ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n=(2n+1)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}T$$\omega _{n}=(2n+1)\pi T$  — для фермионов, ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n=2n\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}T$$\omega _{n}=2n\pi T$  — для бозонов.

Правила температурной диаграммной техники. Импульсно-частотное представление.

	Элементы Диаграммы	Аналитическое выражение
	название	изображение
1	Сплошная линия		$G_0(\mathbf{p},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n)$$G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})$
3	Волнистая линия		$\mathfrak{U}(\mathbf{p},{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n)=U(\mathbf{p})$${\mathfrak {U}}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=U(\mathbf {p} )$
4	Сопоставить линиям диаграммы внешние импульсы и частоты. Импульсы и частоты внутренних линий в каждой вершине должны удовлетворять законам сохранения $\sum <!--\; \sum \; -->\mathbf{p}=0,\sum <!--\; \sum \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0$$\sum \mathbf {p} =0,\sum \omega =0$
5	По всем независимым импульсам производится интегрирование, по частотам — суммирование.
6	Полученное выражение умножается на $(-<!--\; -\; -->1{)}^k\frac{T^k}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{3k}}(2s+1{)}^F(\mp <!--\; \mp \; -->{)}^F$$(-1)^{k}{\frac {T^{k}}{(2\pi )^{3k}}}(2s+1)^{F}(\mp )^{F}$ , k-порядок диаграммы, F-число замкнутых петель в диаграмме, s — спин частицы.

В простейшем случае (Л.Ландау) потенциал можно взять в виде $U({\mathbf{r}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_2)\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}({\mathbf{r}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_2),,$$U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\sim \delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}),,$  что соответствует нулевому радиусу взаимодействия. Графически это соответствует стягиванию двух точек, которые соединены волнистой линией в одну.

Метод функционального интегрированияПравить

При переходе от классической статистической механики к квантовой, интегрирование по канонически сопряженным переменным $p,q$$p,q$  заменяется на след, то есть на сумму по состояниям. Таким образом, статистическая сумма квантовой системы с оператором Гамильтона $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}$${\hat {H}}$  определяется как

$Z=Tr{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}⟨<!--\; ⟨\; -->n|e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}|n⟩<!--\; ⟩\; -->.$$Z=Tre^{-\beta {\hat {H}}}=\sum \limits _{n}{\langle n\vert e^{-\beta {\hat {H}}}\vert n\rangle }.$ 

Видно, что член под знаком суммы похож на матричный элемент оператора эволюции с точностью до замены $t\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->i\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$t\rightarrow -i\beta$ . Этот матричный элемент дается формулой Фейнмана-Каца:

$⟨<!--\; ⟨\; -->q_2|e^{-<!--\; -\; -->it\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}|q_1⟩<!--\; ⟩\; -->=\int <!--\; \int \; -->\underset{t}{\prod <!--\; \prod \; -->}\frac{dp(t)dq(t)}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\exp <!--\; \; -->\left(i\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(p\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}-<!--\; -\; -->H(p,q)\right)dt\right).$$\langle q_{2}\vert e^{-it{\hat {H}}}\vert q_{1}\rangle =\int \prod \limits _{t}{\frac {dp(t)dq(t)}{2\pi }}\exp {\left(i\int \limits _{0}^{t}\left(p{\dot {q}}-H(p,q)\right)dt\right)}.$ 

Обратим внимание на то, что в функциональном интеграле величины $p,q,H(p,q)$$p,q,H(p,q)$  являются классическими функциями, и при дальнейших вычислениях не возникает проблемы с коммутационными соотношениями. Сделаем в этой формуле поворот Вика и отождествим $q\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}),p\sim <!--\; \sim \; -->i{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$q\sim \psi (x,\tau ),p\sim i\psi ^{+}(x,\tau )$ , тогда выражений для статистической суммы преобразится к виду:

$Z=\int \limits _{B.C.}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}e^{-S_{\beta }},\qquad B.C.={\begin{cases}\psi (x,\tau )=\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Bose}}\\\psi (x,\tau )=-\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Fermi}}\end{cases}},$ 

где $S_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$S_{\beta }$  действие температурной теории, интегрирование ведётся по полям с соответствующими граничными условиями (B.C.) В случае идеального газа

$S_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0=\underset{0}{\overset{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\int <!--\; \int \; -->d\mathbf{x}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\left({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}+\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}{2m}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\right)\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}).$$S_{\beta }^{0}=\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} \psi ^{+}(x,\tau )\left(\partial _{\tau }+{\frac {\Delta }{2m}}-\mu \right)\psi (x,\tau ).$ 

Парное взаимодействие можно учесть в виде члена типа плотность-плотность

$S_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{int}=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\int <!--\; \int \; -->d\mathbf{x}d{\mathbf{x}}^{\prime }{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})U(\mathbf{x}-<!--\; -\; -->{\mathbf{x}}^{\prime }){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x^{\prime },\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x^{\prime },\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}).$$S_{\beta }^{int}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )U(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\psi ^{+}(x',\tau )\psi (x',\tau ).$ 

Как было сказано выше объекты $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}),{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$\psi (x,\tau ),\psi ^{+}(x,\tau )$  не являются полевыми операторами. В случае фермионов они являются грассмановыми функциями, что является наследием антисимметричности фермионных волновых функций.

Определение температурной функции ГринаПравить

Определим функцию Грина как среднее от произведения нескольких полей с весом $\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->S_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})$$\exp(-S_{\beta })$ . Так парная корреляционная функция даётся выражением

$G(x,x^{\prime },\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x^{\prime },{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{1}{Z}\underset{B.C.}{\int <!--\; \int \; -->}\mathcal{D}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\mathcal{D}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x^{\prime },\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})e^{-<!--\; -\; -->S_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}},S_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=S_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^0+S_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{int}.$$G(x,x',\tau ,\tau ')=\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\frac {1}{Z}}\int \limits _{B.C.}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau )e^{-S_{\beta }},\quad S_{\beta }=S_{\beta }^{0}+S_{\beta }^{int}.$ 

Для корректного определения этого объекта, как можно показать, нужно доопределение $G(x,x^{\prime },\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}={\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })=G(x,x^{\prime },\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}={\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }+0).$$G(x,x',\tau =\tau ')=G(x,x',\tau =\tau '+0).$ 

Случай свободных частицПравить

Вычислим функцию Грина для невзаимодействующих частиц. Как известно, для этого нужно найти ядро оператора ${\left(-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_1\right)}^{-<!--\; -\; -->1}$$\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)^{-1}$  c учётом граничных условий, то есть решить уравнение

$\left(-<!--\; -\; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_1\right)G_0(x,x^{\prime },\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x-<!--\; -\; -->x^{\prime })\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }).$$\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)G_{0}(x,x',\tau ,\tau ')=\delta (x-x')\delta (\tau -\tau ').$ 

Уравнение элементарно решается в $p-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$p-\tau$  представлении

$G_0(\mathbf{p},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })=e^{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_0(\mathbf{p})(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })}\left(\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mp <!--\; \mp \; -->\frac{1}{e^{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_0(\mathbf{p})\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\pm <!--\; \pm \; -->1}\right).$$G_{0}(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right).$ 

Как видно, эта функция Грина совпадает с функцией Грина полученной с помощью мацубаровских операторов. Доопределение этой функции при совпадающих «временах» означает, что тета-функция в нуле равна нулю.

Взаимодействующие частицыПравить

Рассмотрим, например, бозоны с межчастичным взаимодействием типа $U(x-<!--\; -\; -->x^{\prime })=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x-<!--\; -\; -->x^{\prime }),\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0.$$U(x-x')=\lambda \delta (x-x'),\lambda >0.$  Для вычисления по теории возмущений разложим экспоненту со взаимодействием в ряд по параметру $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  и для простоты ограничимся первым порядком

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x^{\prime },{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })⟩<!--\; ⟩\; -->={⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x^{\prime },{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })⟩<!--\; ⟩\; -->}_0-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}dt\int <!--\; \int \; -->d\mathbf{y}{⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x^{\prime },{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }){\left({\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(y,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\right)}^2⟩<!--\; ⟩\; -->}_0+O({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2).$$\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}-{\frac {\lambda }{2}}\int \limits _{0}^{\beta }dt\int d\mathbf {y} {\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\left(\psi ^{+}(y,\tau )\psi (y,\tau )\right)^{2}\rangle }_{0}+O(\lambda ^{2}).$ 

Построим соответствующую диаграммную технику

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.

	Элементы Диаграммы	Аналитическое выражение
	название	изображение
1	Крест		${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$\psi ^{+}(x,\tau )$
2	Точка		$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$\psi (x,\tau )$
3	Пропагатор		${⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x^{\prime },{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })⟩<!--\; ⟩\; -->}_0=G_{+,0}(x,x^{\prime },\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })$${\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}=G_{+,0}(x,x',\tau ,\tau ')$
4	Пропагатор		${⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x^{\prime },{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})⟩<!--\; ⟩\; -->}_0=G_{0,+}(x^{\prime },x,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime },\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$${\langle \psi (x',\tau ')\psi ^{+}(x,\tau )\rangle }_{0}=G_{0,+}(x',x,\tau ',\tau )$
3	Вершина		${\left({\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{+}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\right)}^2$$\left(\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )\right)^{2}$
5	Домножить каждую вершину на $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}/2{)}^{n}r/n!$$(-\lambda /2)^{n}r/n!$ , где n-порядок диаграммы, r-симметрийный коэффициент-число топологически эквивалентных графов.
5	По всем координатам вершин производится интегрирование.

Изобразим в первом порядке все связные графы

 

.

Существует только одна диаграмма, для неё $r=4$$r=4$ . Соответствующее аналитическое выражение для поправки

$Diag=-<!--\; -\; -->2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\underset{0}{\overset{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}dt\int <!--\; \int \; -->dy{G}_{+,0}(x,y,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},t)G_{+,0}(y,y,t,t)G_{+,0}(y,x^{\prime },t,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }),$$Diag=-2\lambda \int \limits _{0}^{\beta }dt\int dyG_{+,0}(x,y,\tau ,t)G_{+,0}(y,y,t,t)G_{+,0}(y,x',t,\tau '),$ 

это выражение в точности совпадает с полученным ранее в операторном методе. Для рассматриваемого потенциала две диаграммы 1 и 2 становятся эквивалентными, поэтому для получения однопетлевого вклада, нужно выражение для одной из диаграмм умножить на 2. Конечно и в этом случае разумно перейти в импульсное представление. Правила построения диаграмм в импульсном представлении здесь такие же, как и ранее.

ЛитератураПравить

• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — М.-Ижевск: НИЦ "РХД", 2009. — ISBN 978-5-93972-770-9.
• Цвелик A.M. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — ISBN 5-9221-0237-0.
• Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — ISBN 0-19-850923-5.

См. такжеПравить

• Квантовополевая теория возмущений в статистической физике
• Критические явления
• Квантовый газ
• Квантовая теория поля
• Функциональный интеграл
• Статистическая физика
• Теория Ландау
• Теорема Вика для функционального интеграла