Комплексное число

Запросы «Re», «Im» и «Мнимая величина» перенаправляются сюда; см. также другие значения терминов Re, Im и Мнимая величина.

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечание) — числа вида $a+bi,$$a+bi,$ где $a,b$$a,b$ — вещественные числа, $i$$i$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $i^2=-<!--\; -\; -->1.$$i^{2}=-1.$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\mathbb{C}.$$\mathbb {C} .$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $a+0i.$$a+0i.$ Главное свойство $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $n$$n$-й степени ($n⩾<!--\; ⩾\; -->1$$n\geqslant 1$) имеет $n$$n$ корней. Доказано^[⇨], что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Иерархия чисел

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания^[⇨], умножения^[⇨] и деления^[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше^[⇨]. Удобно представлять комплексные числа $a+bi$$a+bi$ точками на комплексной плоскости^[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси^[⇨]. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней^[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе^[⇨].

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение $i$$i$ для мнимой единицы, Декарт, Гаусс^[⇨]. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году.

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других^[⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы^[⇨].

Комплексная арифметикаПравить

Связанные определенияПравить

Всякое комплексное число $z=a+bi$$z=a+bi$  состоит из двух компонент:

• Величина $a$$a$  называется вещественной частью числа $z$$z$  и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается $\mathrm{Re}<!--\; \; -->z$$\operatorname {Re} z$  или $\mathrm{Re}<!--\; \; -->\left(z\right).$$\operatorname {Re} \left(z\right).$  В источниках иногда встречается готический символ: $\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}<!--\; \; -->\left(z\right).$$\operatorname {\Re } \left(z\right).$ 
  • Если $a=0$$a=0$ , то $z$$z$  называется чисто мнимым числом. Вместо $0+bi$$0+bi$  обычно пишут просто $bi.$$bi.$  В некоторых источниках такие числа называются просто мнимыми, однако в других источниках мнимыми могут называться любые комплексные числа $z=a+bi,$$z=a+bi,$  у которых $b\ne <!--\; \ne \; -->0.$$b\neq 0.$  Поэтому термин мнимое число неоднозначен, и использовать его без дополнительных разъяснений не рекомендуется.
• Величина $b$$b$  называется мнимой частью числа $z$$z$  и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается $\mathrm{Im}<!--\; \; -->z$$\operatorname {Im} z$  или $\mathrm{Im}<!--\; \; -->\left(z\right).$$\operatorname {Im} \left(z\right).$  В источниках иногда встречается готический символ: $\mathrm{\Im <!--\; \Im \; -->}<!--\; \; -->\left(z\right).$$\operatorname {\Im } \left(z\right).$ 
  • Если $b=0$$b=0$ , то $z$$z$  является вещественным числом. Вместо $a+0i$$a+0i$  обычно пишут просто $a.$$a.$  Например, комплексный ноль $0+0i$$0+0i$  обозначается просто как $0.$$0.$ 

Противоположным для комплексного числа $z=a+bi$$z=a+bi$  является число $-<!--\; -\; -->z=-<!--\; -\; -->a-<!--\; -\; -->bi.$$-z=-a-bi.$  Например, для числа $1-<!--\; -\; -->2i$$1-2i$  противоположным будет число $-<!--\; -\; -->1+2i.$$-1+2i.$ 

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (например, чтобы из $a<b$  вытекало $a+c<b+c$ ). Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно:

• $a+bi=c+di$$a+bi=c+di$  означает, что $a=c$$a=c$  и $b=d$$b=d$  (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.

Сложение и вычитаниеПравить

Определение сложения и вычитания комплексных чисел:

$\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,$$\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,$ 

$\left(a+bi\right)-<!--\; -\; -->\left(c+di\right)=\left(a-<!--\; -\; -->c\right)+\left(b-<!--\; -\; -->d\right)i.$$\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i.$ 

Следующая таблица показывает основные свойства сложения для любых комплексных $u,v,w.$$u,v,w.$ 

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	$u+v=v+u$$u+v=v+u$
Ассоциативность (сочетательность)	$u+\left(v+w\right)=\left(u+v\right)+w$$u+\left(v+w\right)=\left(u+v\right)+w$
Свойство нуля	$u+0=u$$u+0=u$
Свойство противоположного элемента	$u+\left(-<!--\; -\; -->u\right)=0$$u+\left(-u\right)=0$
Выполнение вычитания через сложение	$u-<!--\; -\; -->v=u+\left(-<!--\; -\; -->v\right)$$u-v=u+\left(-v\right)$

УмножениеПравить

Определение произведения комплексных чисел $a+bi$$a+bi$  и $c+di:<!--\; :\; -->$$c+di\colon$ 

$\left(a+bi\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(c+di\right)=ac+bci+adi+bd{i}^2=\left(ac+bd{i}^2\right)+\left(bc+ad\right)i=\left(ac-<!--\; -\; -->bd\right)+\left(bc+ad\right)i.$$\left(a+bi\right)\cdot \left(c+di\right)=ac+bci+adi+bdi^{2}=\left(ac+bdi^{2}\right)+\left(bc+ad\right)i=\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i.$ 

Следующая таблица показывает основные свойства умножения для любых комплексных $u,v,w.$$u,v,w.$ 

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	$u\cdot <!--\; \cdot \; -->v=v\cdot <!--\; \cdot \; -->u$$u\cdot v=v\cdot u$
Ассоциативность (сочетательность)	$u\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(v\cdot <!--\; \cdot \; -->w\right)=\left(u\cdot <!--\; \cdot \; -->v\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->w$$u\cdot \left(v\cdot w\right)=\left(u\cdot v\right)\cdot w$
Свойство единицы	$u\cdot <!--\; \cdot \; -->1=u$$u\cdot 1=u$
Свойство нуля	$u\cdot <!--\; \cdot \; -->0=0$$u\cdot 0=0$
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения	$u\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(v+w\right)=u\cdot <!--\; \cdot \; -->v+u\cdot <!--\; \cdot \; -->w$$u\cdot \left(v+w\right)=u\cdot v+u\cdot w$

Правила для степеней мнимой единицы:

$i^2=-<!--\; -\; -->1;i^3=-<!--\; -\; -->i;i^4=1;i^5=i$$i^{2}=-1;\;i^{3}=-i;\;i^{4}=1;\;i^{5}=i$  и т. д.

То есть для любого целого числа $n$$n$  верна формула $i^n=i^{nmod4}$$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$ , где выражение $nmod4$$n{\bmod {4}}$  означает получение остатка от деления $n$$n$  на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение $a+bi$$a+bi$  можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения:

$\left(a+0i\right)+\left(b+0i\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(0+1i\right)=\left(a+0i\right)+\left(0+bi\right)=a+bi.$$\left(a+0i\right)+\left(b+0i\right)\cdot \left(0+1i\right)=\left(a+0i\right)+\left(0+bi\right)=a+bi.$ 

ДелениеПравить

Комплексное число $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}=x-<!--\; -\; -->iy$${\bar z}=x-iy$  называется сопряжённым к комплексному числу $z=x+iy$$z=x+iy$  (подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа $a+bi,$$a+bi,$  кроме нуля, можно найти обратное к нему комплексное число $\frac{1}{a+bi}.$${\frac {1}{a+bi}}.$  Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число $a-<!--\; -\; -->bi,$$a-bi,$  комплексно сопряжённое знаменателю

$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-<!--\; -\; -->bi}{\left(a+bi\right)\left(a-<!--\; -\; -->bi\right)}=\frac{a-<!--\; -\; -->bi}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-<!--\; -\; -->\frac{b}{a^2+b^2}i.$${\frac {1}{a+bi}}={\frac {a-bi}{\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.$ 

Определим результат деления комплексного числа $a+bi$$a+bi$  на ненулевое число $c+di:<!--\; :\; -->$$c+di\colon$ 

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-<!--\; -\; -->di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-<!--\; -\; -->di\right)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-<!--\; -\; -->ad}{c^2+d^2}i.$${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i.$ 

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операцииПравить

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественныхПравить

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени $n>0$$n>0$  с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно $n$$n$  комплексных корней (основная теорема алгебры).

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень $n$$n$ -й степени из ненулевого числа имеет $n$$n$  различных комплексных значений. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного^[⇨].

ЗамечанияПравить

Число $i$$i$  не является единственным числом, квадрат которого равен $-<!--\; -\; -->1.$$-1.$  Число $-<!--\; -\; -->i$$-i$  также обладает этим свойством.

Выражение $\sqrt{-<!--\; -\; -->1},$${\sqrt {-1}},$  ранее часто использовавшееся вместо $i,$$i,$  в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как $5+i\sqrt{3},$$5+i{\sqrt {3}},$  а не $5+\sqrt{-<!--\; -\; -->3},$$5+{\sqrt {-3}},$  несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

$\sqrt{-<!--\; -\; -->3}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{-<!--\; -\; -->3}=\sqrt{\left(-<!--\; -\; -->3\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(-<!--\; -\; -->3\right)}=\sqrt{{\left(-<!--\; -\; -->3\right)}^2}=\sqrt{9}=3.$${\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)}}={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3.$ 

Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из $-<!--\; -\; -->3$$-3$  определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

$\left(i\sqrt{3}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(i\sqrt{3}\right)={\left(i\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{3}\right)}^2=i^2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\sqrt{3}\right)}^2=-<!--\; -\; -->3.$$\left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\right)^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.$ 

Геометрическое представлениеПравить

Комплексная плоскостьПравить

Основная статья: Комплексная плоскость

 

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу $z=x+iy$$z=x+iy$  соответствует точка плоскости с координатами $\left\{x,y\right\}$$\left\{x,y\right\}$  (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

 

Модуль $r$$r$  и аргумент $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние $r$$r$  до начала координат (модуль^[⇨]) и угол $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент^[⇨]).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Пример: умножение на $i$$i$  поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на $-<!--\; -\; -->i$$-i$  радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

МодульПравить

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа $z=x+iy$$z=x+iy$  обозначается $\left|z\right|$$\left|z\right|$  (иногда $r$$r$  или $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ ) и определяется выражением

$\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}.$$\left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$ 

Если $z$$z$  является вещественным числом, то $\left|z\right|$$\left|z\right|$  совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных $z,z_1,z_2$$z,z_{1},z_{2}$  имеют место следующие свойства модуля:

1) $\left|z\right|⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\left|z\right|\geqslant 0$ , причём $\left|z\right|=0$$\left|z\right|=0$  только при $z=0;$$z=0;$ 

2) $\left|z_1+z_2\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$$\left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$  (неравенство треугольника);

3) $\left|z_1\cdot <!--\; \cdot \; -->z_2\right|=\left|z_1\right|\cdot <!--\; \cdot \; -->\left|z_2\right|;$$\left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|;$ 

4) $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|};$$\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}};$ 

5) для пары комплексных чисел $z_1$$z_{1}$  и $z_2$$z_{2}$  модуль их разности $\left|z_1-<!--\; -\; -->z_2\right|$$\left|z_{1}-z_{2}\right|$  равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;

6) модуль числа $z$$z$  связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

$-<!--\; -\; -->\left|z\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{Re}<!--\; \; -->(z)⩽<!--\; ⩽\; -->\left|z\right|;-<!--\; -\; -->\left|z\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{Im}<!--\; \; -->(z)⩽<!--\; ⩽\; -->\left|z\right|;\left|z\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\left|\mathrm{Re}<!--\; \; -->\left(z\right)\right|+\left|\mathrm{Im}<!--\; \; -->\left(z\right)\right|.$$-\left|z\right|\leqslant \operatorname {Re} (z)\leqslant \left|z\right|;\quad -\left|z\right|\leqslant \operatorname {Im} (z)\leqslant \left|z\right|;\quad \left|z\right|\leqslant \left|\operatorname {Re} \left(z\right)\right|+\left|\operatorname {Im} \left(z\right)\right|.$ 

АргументПравить

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа $z$$z$  измеряется в радианах и обозначается $\mathrm{Arg}<!--\; \; -->\left(z\right)$$\operatorname {Arg} \left(z\right)$ . Из этого определения следует, что

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{y}{x};\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{x}{\left|z\right|};\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{y}{\left|z\right|}.$$\operatorname {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x}};\quad \cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|}};\quad \sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}.$ 

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$$z$  аргумент определяется с точностью до $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k$$2\pi k$ , где $k$$k$  — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ , что $-\pi <\varphi \leqslant \pi .$  Главное значение может обозначаться $\arg <!--\; \; -->\left(z\right)$$\operatorname {arg} \left(z\right)$ .

Некоторые свойства аргумента:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

$\mathrm{Arg}<!--\; \; -->\left(\frac{1}{z}\right)=-<!--\; -\; -->\mathrm{Arg}<!--\; \; -->\left(z\right);$$\operatorname {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {Arg} \left(z\right);$ 

2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

$\mathrm{Arg}<!--\; \; -->(z_1{z}_2)=\mathrm{Arg}<!--\; \; -->(z_1)+\mathrm{Arg}<!--\; \; -->(z_2);$$\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2});$ 

3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

$\mathrm{Arg}<!--\; \; -->\frac{z_1}{z_2}=\mathrm{Arg}<!--\; \; -->(z_1)-<!--\; -\; -->\mathrm{Arg}<!--\; \; -->(z_2).$$\operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}).$ 

Сопряжённые числаПравить

Основная статья: Сопряжённые числа

 

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число $z$$z$  равно $x+iy,$$x+iy,$  то число $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}=x-<!--\; -\; -->iy$${\bar z}=x-iy$  называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к $z$$z$  (обозначается также $z^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$z^{*}$ ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком:

• $\left|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}\right|=\left|z\right|;\mathrm{Arg}<!--\; \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})=-<!--\; -\; -->\mathrm{Arg}<!--\; \; -->(z).$$\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|;\quad \operatorname {Arg} ({\bar {z}})=-\operatorname {Arg} (z).$ 

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию, которая сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства:

• $z=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$z={\bar {z}}$  тогда и только тогда, когда $z$$z$  — вещественное число.
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}=z$${\bar {{\bar {z}}}}=z$  (сопряжённое к сопряжённому есть исходное; иначе говоря, операция сопряжения является инволюцией).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z:

• $z\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}={\left|z\right|}^2=x^2+y^2.$$z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}.$ 

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число:

• $z+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}=2\mathrm{Re}<!--\; \; -->\left(z\right)=2x.$$z+{\bar {z}}=2\operatorname {Re} \left(z\right)=2x.$ 

Другие соотношения:

• $\mathrm{Re}z=\frac{z+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}{2};\mathrm{Im}z=\frac{z-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}{2i}.$$\operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \operatorname {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.$ 
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z_1+z_2}={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_1+{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_2;$${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2};$ 
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z_1-<!--\; -\; -->z_2}={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_1-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_2;$${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2};$ 
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z_1\cdot <!--\; \cdot \; -->z_2}={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_2;$${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2};$ 
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z_1/z_2}={\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_1/{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_2;$${\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2};$ 

Или, в общем виде: $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p\left(z\right)}=p\left(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}\right),$${\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\right),$  где $p\left(z\right)$$p\left(z\right)$  — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число $z$$z$  является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$\overline{z}$  тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары.

ПримерПравить

Тот факт, что произведение $z\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$z{\bar {z}}$  есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение, например:

$\frac{2+5i}{3-<!--\; -\; -->4i}=\frac{(2+5i)(3+4i)}{(3-<!--\; -\; -->4i)(3+4i)}=\frac{-<!--\; -\; -->14+23i}{25}=-<!--\; -\; -->\frac{14}{25}+\frac{23}{25}i.$${\frac {2+5i}{3-4i}}={\frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}={\frac {-14+23i}{25}}=-{\frac {14}{25}}+{\frac {23}{25}}i.$ 

Формы представления комплексного числаПравить

Алгебраическая формаПравить

Выше использовалась запись комплексного числа $z$$z$  в виде $x+iy;$$x+iy;$  такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая формаПравить

 

Тригонометрическое представление

Если вещественную $x$$x$  и мнимую $y$$y$  части комплексного числа выразить через модуль $r=\left|z\right|$$r=\left|z\right|$  и аргумент $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  (то есть $x=r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$x=r\cos \varphi$ , $y=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$y=r\sin \varphi$ ), то всякое комплексное число $z$$z$ , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме:

$z=r\left(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)$$z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)$ 

Как уже сказано выше, для нуля аргумент $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  не определён; для ненулевого числа $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  определяется с точностью до целого кратного $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$$2\pi .$ 

Показательная формаПравить

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера:

$e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},$$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,$ 

где $e$$e$  — число Эйлера, $\cos$$\cos$ , $\sin$$\sin$  — косинус и синус, $e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$e^{{i\varphi }}$  — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа:

$z=r{e}^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}.$$z=re^{i\varphi }.$ 

Следствия

(1) Модуль выражения $e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}},$$e^{i\varphi },$  где число $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  вещественно, равен 1.

(2) $\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}+e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}{2};\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}{2i}$$\cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}};\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}$  — при существенно комплексном аргументе $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса и синуса.

Пример. Представим в тригонометрической и показательной форме число $z=-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{3}i:<!--\; :\; -->$$z=-1-{\sqrt {3}}i\colon$ 

$|z|=\sqrt{(-<!--\; -\; -->1{)}^2+(-<!--\; -\; -->\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2;$$|z|={\sqrt {(-1)^{2}+(-{\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {1+3}}=2;$ 

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+\mathrm{arctg}<!--\; \; -->(\frac{-<!--\; -\; -->\sqrt{3}}{-<!--\; -\; -->1})=-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+\mathrm{arctg}<!--\; \; -->(\sqrt{3})=-<!--\; -\; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}$$\varphi =-\pi +\operatorname {arctg} {\Bigl (}{\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}}{\Bigr )}=-\pi +\operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})=-{\frac {2\pi }{3}}$  (поскольку $z$$z$  находится в III координатной четверти).

Отсюда:

$z=2\left(\cos <!--\; \; -->\frac{-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}+i\sin <!--\; \; -->\frac{-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}\right)=2e^{i\frac{-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3}}.$$z=2\left(\cos {\frac {-2\pi }{3}}+i\sin {\frac {-2\pi }{3}}\right)=2e^{i{\frac {-2\pi }{3}}}.$ 

Формула Муавра и извлечение корнейПравить

Основная статья: Формула Муавра

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^n={\left[r\left(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)\right]}^n=r^n\left(\cos <!--\; \; -->n\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+i\sin <!--\; \; -->n\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right),$$z^{n}=\left[r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\varphi +i\sin n\varphi \right),$ 

где $r$$r$  — модуль, а $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом $n$$n$ , не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней $n$$n$ -й степени из ненулевого комплексного числа:

${\begin{alignedat}{2}z^{1/n}&=\left[r\left(\cos \left(\varphi +2\pi k\right)+i\sin \left(\varphi +2\pi k\right)\right)\right]^{1/n}=\\&={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\\\end{alignedat}}$ 

 

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

где k принимает все целые значения от $k=0$$k=0$  до $k=n-<!--\; -\; -->1$$k=n-1$ . Это значит, что корни $n$$n$ -й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального $n,$$n,$  и их количество равно $n$$n$ . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного $n$$n$ -угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$${\sqrt[ {n}]{r}}$  с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корняПравить

Если в формуле Муавра в качестве аргумента $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  выбрано его главное значение, то значение корня при $k=0$$k=0$  называется главным значением корня. Например, главное значение числа $\sqrt[3]{2+11i}$${\sqrt[{3}]{2+11i}}$  равно $2+i.$$2+i.$ 

Квадратный кореньПравить

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для $n=2.$$n=2.$  Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При $b\ne <!--\; \ne \; -->0$$b\neq 0$  корнями из числа $a+bi$$a+bi$  является пара чисел: $\pm <!--\; \pm \; -->(c+di),$$\pm (c+di),$  где:

$c=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}},$$c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},$ 

$d=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->(b)\sqrt{\frac{-<!--\; -\; -->a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}.$$d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}.$ 

Здесь $\mathrm{sgn}$$\operatorname{sgn}$  — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением $c+di$$c+di$  в квадрат. Число $c+di$$c+di$  является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из $3+4i$$3+4i$  формулы дают два значения: $2+i;-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->i.$$2+i;\;-2-i.$ 

ИсторияПравить

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: $5+\sqrt{-<!--\; -\; -->15}$$5+{\sqrt {-15}}$  и $5-<!--\; -\; -->\sqrt{-<!--\; -\; -->15}.$$5-{\sqrt {-15}}.$  В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного».

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение $x^3=15x+4$$x^{3}=15x+4$  имеет вещественный корень $x=4,$$x=4,$  однако по формулам Кардано получаем: $x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-<!--\; -\; -->11i}.$$x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}.$  Бомбелли обнаружил, что $\sqrt[3]{2\pm <!--\; \pm \; -->11i}=2\pm <!--\; \pm \; -->i,$${\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i,$  так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел.

Выражения, представимые в виде $a+b\sqrt{-<!--\; -\; -->1},$$a+b{\sqrt {-1}},$  появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где $b\ne <!--\; \ne \; -->0,$$b\neq 0,$  стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты.

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени $n$$n$  из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ $i$$i$  для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт). К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения).

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного.

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения.

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексные функцииПравить

Аналитические функцииПравить

Основная статья: Комплексный анализ

Комплексная функция одной переменной — это функция $w=f(z)$$w=f(z)$ , которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам $z$$z$  этой области комплексные значения $w$$w$ . Примеры:

$w=z^2+z+1;w=z+\frac{1}{z}.$$w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z}}.$ 

Каждая комплексная функция $w=f(z)=f(x+iy)$$w=f(z)=f(x+iy)$  может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$$f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y),$  определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции $u$$u$ , $v$$v$  называются компонентами комплексной функции $f(z).$$f(z).$  Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных.

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль $|w|=|f(z)|,$$|w|=|f(z)|,$  то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции.

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала, например:

${\sin }^2<!--\; \; -->z+{\cos }^2<!--\; \; -->z=1;e^u\cdot <!--\; \cdot \; -->e^v=e^{u+v}.$$\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.$ 

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль.

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными.

• Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки $z$$z$  комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути.

Преобразования комплексной плоскостиПравить

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

• $w=z+c$$w=z+c$  — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки $c.$$c.$ 
• $w=uz,$$w=uz,$  где $u$$u$  — комплексное число с единичным модулем, — это поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу $u;$$u;$ 
• $w=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$w={\bar {z}}$  — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции $w=uz+c$$w=uz+c$  и $w=u\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}+c$$w=u{\bar {z}}+c$  дают общее выражение для движения на комплексной плоскости.

Другие линейные преобразования:

• $w=rz$$w=rz$ , где $r$$r$  — положительное вещественное число, задаёт растяжение с коэффициентом $r$$r$ , если $r>1,$$r>1,$  или сжатие в $\frac{1}{r}$${\tfrac {1}{r}}$  раз, если $r<1;$ 
• преобразования $w=az+b$$w=az+b$  и $w=a\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}+b,$$w=a{\bar {z}}+b,$  где $a,b$$a,b$  — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия;
• преобразование $w=az+b\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}+c,$$w=az+b{\bar {z}}+c,$  где $|a|\ne <!--\; \ne \; -->|b|,$$|a|\neq |b|,$  — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости (при $|a|=|b|$$|a|=|b|$  преобразование не будет аффинным, так как оно будет вырождать плоскость в прямую).

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования:

$w=\frac{az+b}{cz+d}.$$w={\frac {az+b}{cz+d}}.$ 

При этом $ad\ne <!--\; \ne \; -->bc$$ad\neq bc$  (иначе функция $w(z)$$w(z)$  вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности, в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот.

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия $w=1/\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z},$$w=1/{\bar {z}},$  функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскостиПравить

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например:

• Три (различные) точки $z_1,z_2,z_3$$z_{1},z_{2},z_{3}$  лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

$\frac{z_1-<!--\; -\; -->z_3}{z_2-<!--\; -\; -->z_3}$${\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}$  является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки $z_1,z_2,z_3,z_4$$z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$  лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение $\frac{z_1-<!--\; -\; -->z_3}{z_2-<!--\; -\; -->z_3}:\frac{z_1-<!--\; -\; -->z_4}{z_2-<!--\; -\; -->z_4}$${\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}$  является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: $z_1,z_2,z_3,$$z_{1},z_{2},z_{3},$  то четвёртая определяется равенством: $z_4=z_1-<!--\; -\; -->z_2+z_3.$$z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$ 

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид:

$z=ut+v,$$z=ut+v,$  где $u,v$$u,v$  — комплексные числа, $u\ne <!--\; \ne \; -->0,t$$u\neq 0,t$  — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми $z=ut+v$$z=ut+v$  и $z=u^{\prime }t+v^{\prime }$$z=u't+v'$  равен $\arg <!--\; \; -->(u^{\prime }/u).$$\operatorname {arg} (u'/u).$  В частности, прямые перпендикулярны, только когда $u^{\prime }/u$$u'/u$  — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда $u^{\prime }/u$$u'/u$  есть вещественное число; если при этом $(v^{\prime }-<!--\; -\; -->v)/u$$(v'-v)/u$  также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая $z=ut+v$$z=ut+v$  рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение $t=\mathrm{Im}<!--\; \; -->\frac{z-<!--\; -\; -->v}{u}$$t=\operatorname {Im} {\frac {z-v}{u}}$  положительно, на другой — отрицательно.

Уравнение окружности с центром $c$$c$  и радиусом $r$$r$  имеет чрезвычайно простой вид: $|z-<!--\; -\; -->c|=r.$$|z-c|=r.$  Неравенство $|z-c|<r$  описывает внутренность окружности (открытый круг). Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности: $z=c+e^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}.$$z=c+e^{i\varphi }.$ 

Место в общей алгебре, топологии и теории множествПравить

Множество комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел $\mathbb{R}.$$\mathbb{R}.$  Основное алгебраическое свойство $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  есть алгебраическое замыкание поля $\mathbb{R}.$$\mathbb{R}.$ 

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  — поле комплексных чисел и тело кватернионов.

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем $\mathbb{R}.$$\mathbb{R}.$ 

Поле $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте.

Поля $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  и $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  — единственные связные локально компактные топологические поля.

Некоторые практические примененияПравить

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

МатематикаПравить

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение.

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида $a+bi,$$a+bi,$  где $a,b$$a,b$  — целые числа. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана.

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

$\frac{1}{1+x^2}=1-<!--\; -\; -->x^2+x^4-<!--\; -\; -->x^6+\dots <!--\; \dots \; -->$${\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots$ 

Этот ряд сходится только в интервале $(-<!--\; -\; -->1;1)$$(-1;\;1)$ , хотя точки $\pm <!--\; \pm \; -->1$$\pm 1$  не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного $f(z)=\frac{1}{1+z^2},$$f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}},$  у которой обнаруживаются две особые точки: полюса $\pm <!--\; \pm \; -->i.$$\pm i.$  Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиуса.

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа.

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных.

Конформное отображениеПравить

 

Пример конформного преобразования

Основная статья: Конформное отображение

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике.

Квантовая механикаПравить

Основная статья: Квантовая механика

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}$${\hat {x}}$  и импульса ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_x$${\hat {p}}_{x}$  представляет собой мнимое число:

$\left[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x},{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_x\right]=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_x-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_x\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar$ 

Здесь $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$  — редуцированная постоянная Планка $h$$h$ , то есть $h/2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$h/2\pi$  (постоянная Дирака).

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения.

ЭлектротехникаПравить

Основная статья: Теория электрических цепей

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепи. Ввиду того, что традиционно символ $i$$i$  в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой $j$$j\,$ . Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из $(t,x)$$(t,x)$ - в $(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},k)$$(\omega ,k)$ -пространство (где $t$$t$  — время, $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных.

Логические основанияПравить

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чиселПравить

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ , если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ . А именно, определим $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — мнимую единицу. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующие.

С1: Для всяких комплексных чисел $u,v$$u,v$  определена их сумма $u+v.$$u+v.$ 

С2: Сложение коммутативно: $u+v=v+u.$$u+v=v+u.$  Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких $u,v,w$$u,v,w$ ».

С3: Сложение ассоциативно: $(u+v)+w=u+(v+w).$$(u+v)+w=u+(v+w).$ 

С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что $u+0=u.$$u+0=u.$ 

С5: Для всякого комплексного числа $u$$u$  существует противоположный ему элемент $-<!--\; -\; -->u$$-u$  такой, что $u+(-<!--\; -\; -->u)=0.$$u+(-u)=0.$ 

С6: Для всяких комплексных чисел $u,v$$u,v$  определено их произведение $uv.$$uv.$ 

С7: Умножение коммутативно: $uv=vu.$$uv=vu.$ 

С8: Умножение ассоциативно: $(uv)w=u(vw).$$(uv)w=u(vw).$ 

С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: $(u+v)w=uw+vw.$$(u+v)w=uw+vw.$ 

С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что $u\cdot <!--\; \cdot \; -->1=u.$$u\cdot 1=u.$ 

С11: Для всякого ненулевого числа $u$$u$  существует обратное ему число $u^{\prime }$$u'$  такое, что $u\cdot <!--\; \cdot \; -->u^{\prime }=1.$$u\cdot u'=1.$ 

С12: Множество комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел $\mathbb{R}.$$\mathbb{R}.$  Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой $\mathbb{R}.$$\mathbb{R}.$ 

С13: Существует элемент $i$$i$  (мнимая единица) такой, что $i^2+1=0.$$i^{2}+1=0.$ 

С14 (аксиома минимальности): Пусть $M$$M$  — подмножество $\mathbb{C},$$\mathbb {C} ,$  которое: содержит $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда $M$$M$  совпадает со всем $\mathbb{C}.$$\mathbb {C} .$ 

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением $\mathbb{R}.$$\mathbb{R}.$  Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны.

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств.

Непротиворечивость и моделиПравить

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел.

Стандартная модельПравить

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара $(a,b)$$(a,b)$  будет соответствовать комплексному числу $a+bi.$$a+bi.$ 

Далее определим:

1. пары $(a,b)$$(a,b)$  и $(c,d)$$(c,d)$  считаются равными, если $a=c$$a=c$  и $b=d;$$b=d;$ 
2. сложение: сумма пар $(a,b)$$(a,b)$  и $(c,d)$$(c,d)$  определяется как пара $(a+c,b+d);$$(a+c,b+d);$ 
3. умножение: произведение пар $(a,b)$$(a,b)$  и $(c,d)$$(c,d)$  определяется как пара $(ac-<!--\; -\; -->bd,ad+bc).$$(ac-bd,ad+bc).$ 

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения $i^2=-<!--\; -\; -->1:<!--\; :\; -->$$i^{2}=-1\colon$ 

$(a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bd{i}^2=(ac-<!--\; -\; -->bd)+i(ad+bc).$$(a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc).$ 

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами $(a,0)$$(a,0)$ , образующими подполе $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары $(0,0)$$(0,0)$  и $(1,0)$$(1,0)$  соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара $(0,1),$$(0,1),$  Квадрат её равен $\left(-<!--\; -\; -->1,0\right),$$\left(-1,\;0\right),$  то есть $-<!--\; -\; -->1.$$-1.$  Любое комплексное число можно записать в виде $(a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.$$(a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.$ 

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой.

Матричная модельПравить

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

${\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}$ 

с обычным матричным сложением и умножением. Вещественной единице будет соответствовать

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},$ 

мнимой единице —

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ .

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число $x+iy$$x+iy$  является линейным оператором. В базисе $e_1=1,e_2=i$$e_{1}=1,e_{2}=i$  линейный оператор умножения на $x+iy$$x+iy$  представляется указанной выше матрицей, так как:

$(x+iy)\cdot <!--\; \cdot \; -->1=x\cdot <!--\; \cdot \; -->1+y\cdot <!--\; \cdot \; -->i;$$(x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i;$ 

$(x+iy)\cdot <!--\; \cdot \; -->i=(-<!--\; -\; -->y)\cdot <!--\; \cdot \; -->1+x\cdot <!--\; \cdot \; -->i.$$(x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i.$ 

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число.

Модель факторкольца многочленовПравить

Рассмотрим кольцо многочленов $\mathbb{R}[x]$$\mathbb{R}[x]$  с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена $x^2+1$$x^{2}+1$  (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из $\mathbb{R}[x]$$\mathbb{R}[x]$  мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен $x^2+1$$x^{2}+1$  они дают одинаковые остатки. Например, многочлен $x^2$$x^{2}$  будет эквивалентен константе $-<!--\; -\; -->1,$$-1,$  многочлен $x^3$$x^{3}$  будет эквивалентен $-<!--\; -\; -->x$$-x$  и т. д.

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен $x^2+1$$x^{2}+1$  неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен $i(x)=x,$$i(x)=x,$  поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен $-<!--\; -\; -->1.$$-1.$  Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида $a+bx$$a+bx$  (от деления на $x^2+1$$x^{2}+1$ ), который в силу сказанного можно записать как $a+bi.$$a+bi.$  Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел.

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда.

Алгебраическая характеризацияПравить

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ ). Кроме того, любой базис трансцендентности $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  над $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  имеет мощность континуум. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей.

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbb{Q}}}_p$${\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$  поля $p$$p$ -адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако $p$$p$ -адическая норма не является архимедовой^[en] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в $p$$p$ -адическом.

Вариации и обобщенияПравить

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые $i,j,k.$$i,j,k.$  Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона».

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют.

Другие типы расширений комплексных чисел (гиперкомплексные числа):

• Бикватернионы
• Комплексные числа гиперболического типа (двойные)
• Комплексные числа параболического типа (дуальные)

ПримечанияПравить

Комментарии

Использованная литература

ЛитератураПравить

• Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.
• Бурбаки, Н. Очерки по истории математики. — М., 1963.
• Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
• Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.

СсылкиПравить

• Глейзер Г. Комплексные числа (часть 1 из 2)  (неопр.). Журнал «Математика». — № 10 (2001). Дата обращения: 18 апреля 2017.
  • (часть 2 из 2), «Математика» № 11 (2001).
• Понтрягин Л. Комплексные числа // Квант. — 1982. — № 3.
• Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows  (неопр.). Дата обращения: 17 января 2018.
• Этьен Жис^[en], Йос Лейс, Орельян Альварез. Фильм Dimensions. Главы   5 и   6: Комплексные числа. (рус.)