Поверхность Больцы

Поверхность Больцы (кривая Больцы) — компактная риманова поверхность рода 2 с максимальным возможным порядком конформной группы автоморфизмов для этого порядка, а именно, с группой GL₂(3) порядка 48. Полная группа автоморфизмов (включая отражения) является полупрямым произведением $G{L}_2(3)⋊<!--\; ⋊\; -->{\mathbb{Z}}_2$$GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}$ порядка 96. Аффинная модель поверхности Больцы может быть получена как геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению

$y^2=x^5-<!--\; -\; -->x$$y^{2}=x^{5}-x$

в ${\mathbb{C}}^2$${\mathbb C}^{2}$. Поверхность Больцы является гладким расширением^[en] аффинной кривой. Из всех гиперболических поверхностей рода 2, поверхность Больцы имеет наивысшую систолу. Как гиперэллиптическая^[en] риманова поверхность она возникает как разветвлённое двойное покрытие римановой сферы с точками разветвления в шести вершинах правильного октаэдра^[en], вписанного в сферу, как можно ясно видеть из приведённой формулы.

Треугольная поверхностьПравить

 

Замощение поверхности Больцы отражениями области является фактором Рассечённая восьмиугольная мозаика порядка 3^[en].

Поверхность Больцы является (2,3,8)-треугольной поверхностью (треугольник Шварца): фуксова группа, определяющая поверхность Больцы, является подгруппой группы, образованной отражениями относительно сторон гиперболического треугольника с углами $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2},\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{3},\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}$${\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}$ . Эта подгруппа является подгруппой с индексом группы отражений, которая состоит из произведения чётного числа отражений, и которая имеет абстрактное представление в терминах генераторов $s_2,s_3,s_8$$s_{2},s_{3},s_{8}$  и отношений $s_2{}^2=s_3{}^3=s_8{}^8=1$$s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1$ , а также $s_2{s}_3=s_8$$s_{2}s_{3}=s_{8}$ . Фуксова группа $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ , определяющая поверхность Больцы, является также подгруппой (3,3,4) группы треугольника, которая является подгруппой с индексом 2 группы треугольника (2,3,8). Группа (2,3,8) не имеет реализации в терминах алгебры кватернионов, но группа (3,3,4) — имеет.

Под действием $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  на диск Пуанкаре фундаментальной областью поверхности Больцы является правильный восьмиугольник с углами $\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}$${\tfrac {\pi }{4}}$  в точках

$p_k=2^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}}{e}^{i\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{8}+k\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}\right)}$$p_{k}=2^{-{\tfrac {1}{4}}}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+k{\tfrac {\pi }{4}}\right)}$ ,

где $k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,7$$k=0,\ldots ,7$ . Противоположные стороны восьмиугольника отождествляются под действием фуксовой группы. Генераторами служат матрицы:

$g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{i{\tfrac {k\pi }{4}}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-i{\tfrac {k\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ ,

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\sqrt{\sqrt{2}-<!--\; -\; -->1}$$\alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$  и $k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,3$$k=0,\ldots ,3$ , вместе с их обратными. Генераторы удовлетворяют соотношению:

$g_0{g}_1^{-<!--\; -\; -->1}{g}_2{g}_3^{-<!--\; -\; -->1}{g}_0^{-<!--\; -\; -->1}{g}_1{g}_2^{-<!--\; -\; -->1}{g}_3=1.$$g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.$ 

См. такжеПравить

• Гиперболическая кривая^[en]
• Квартика Клейна^[en]
• Поверхность Макбита

ЛитератураПравить

• Oskar Bolza. On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves // American Journal of Mathematics. — 1887. — Т. 10, вып. 1. — С. 47–70. — doi:10.2307/2369402. — JSTOR 2369402.
• Katz M., Sabourau S. An optimal systolic inequality for CAT(0) metrics in genus two // Pacific J. Math.. — 2006. — Т. 227, вып. 1. — С. 95–107. — doi:10.2140/pjm.2006.227.95. — arXiv:math.DG/0501017.
• Maclachlan C., Reid A. The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. — New York: Springer, 2003. — Т. 219. — (Graduate Texts in Math.). — ISBN 0-387-98386-4.