Поверхность Макбита

Поверхность Макбита, кривая Макбита или кривая Фрикке — Макбита^[1], — это поверхность Гурвица рода 7.

СвойстваПравить

Группой автоморфизмов поверхности Макбита является простая группа PSL(2,8), состоящая из 504 симметрий.^[2]

Построение треугольной группыПравить

Фуксову группу поверхности можно построить как главную конгруэнц-подгруппу треугольной группы (2,3,7) в подходящей башне главных конгруэнц-подгрупп. Выбор алгебры кватернионов и порядок кватернионов Гурвица^[en] описан на странице треугольных групп. Если выбрать идеал $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\langle 2\rangle$ в кольце целых чисел, соответствующая главная конгруэнц-подгруппа определяет эту поверхность рода 7. Её систола примерно равна 5.796, а число систолических петель, согласно вычислениям Р. Фогелера, равно 126.

ИсторияПравить

Эта поверхность первоначально была открыта Робертом Фрикке ^[3], но названа именем Александера Мюррея Макбита^[en] после независимого открытия им позже той же кривой ^[4]. Элкис пишет, что на эквивалентность кривых, которые изучали Фрикке и Макбит, «может быть, впервые обратил внимание Серр в письме Абъянкару^[en] от 24 июля 1990 года» ^[5].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ При этом поверхность понимается как комплексная алгебраическая кривая (комплексная размерность 1 = вещественной размерности 2)
↑ Wohlfahrt, 1985, с. 239–247.
↑ Fricke, 1899, с. 321–339.
↑ Macbeath, 1965, с. 527–542.
↑ Elkies, 1998, с. 1–47.

ЛитератураПравить

Kevin Berry, Marvin Tretkoff. Curves, Jacobians, and abelian varieties, Amherst, MA, 1990. — Providence, RI: Contemp. Math., 136, Amer. Math. Soc., 1992. — С. 31–40..
Emilio Bujalance, Antonio F. Costa. Mathematical contributions. — Madrid: Editorial Complutense, 1994. — С. 375–385.
N. D. Elkies. Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III / Joe P. Buhler. — Springer-Verlag, 1998. — Т. 1423. — (Lecture Notes in Computer Science). — ISBN 3-540-64657-4. — doi:10.1007/BFb0054849..
R. Fricke. Über eine einfache Gruppe von 504 Operationen // Mathematische Annalen. — 1899. — Т. 52, вып. 2–3. — doi:10.1007/BF01476163..
R. Gofmann. Weierstrass points on Macbeath's curve // Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh.. — 1989. — Т. 104, вып. 5. — С. 31–33.. Translation in Moscow Univ. Math. Bull. 44 (1989), no. 5, 37-40.
A. Macbeath. On a curve of genus 7 // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1965. — Т. 15. — doi:10.1112/plms/s3-15.1.527..
R. Vogeler. On the geometry of Hurwitz surfaces // Florida State University thesis. — 2003..
K. Wohlfahrt. Macbeath's curve and the modular group // Glasgow Math. J.. — 1985. — Т. 27. — doi:10.1017/S0017089500006212.. Corrigendum, vol. 28, no. 2, 1986, p. 241, .

[1] При этом поверхность понимается как комплексная алгебраическая кривая (комплексная размерность 1 = вещественной размерности 2)

[_1cc08c6b6a3cf10d-2] Wohlfahrt, 1985, с. 239–247.

[_8285cdcfefb3bc38-3] Fricke, 1899, с. 321–339.

[_325a45c09c58a1c3-4] Macbeath, 1965, с. 527–542.

[_213057a30f213fe4-5] Elkies, 1998, с. 1–47.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]