Инъекция (математика)

Инъе́кция (инъекти́вное отображе́ние) в математике — отображение $f$$f$ множества $X$$X$ во множество $Y$$Y$ ($f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$), при котором разные элементы множества $X$$X$ переводятся в разные элементы множества $Y$$Y$, то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x_1=x_2$$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.

Инъективная функция.

Инъекцию также называют вложением, или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ аналогичная фраза формулируется как отображение $X$$X$ в $Y$$Y$.

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ инъективно, если существует $g:<!--\; :\; -->Y\to <!--\; \to \; -->X$$g\colon Y\to X$, при котором композиция $g\circ <!--\; \circ \; -->f={\mathrm{id}}_X$$g\circ f=\operatorname{id}_X$.

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

ПримерыПравить

• $f:<!--\; :\; -->{\mathbb{R}}_{>0}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},f(x)=\ln <!--\; \; -->x$$f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$  (натуральный логарифм) — инъективно и сюръективно (здесь ${\mathbb{R}}_{>0}$$\mathbb {R} _{>0}$  — множество положительных чисел).
• $f:<!--\; :\; -->{\mathbb{R}}_{+}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},f(x)=x^2$$f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}$  — инъективно (здесь ${\mathbb{R}}_{+}$$\R_+$  — множество неотрицательных чисел).
• $f:<!--\; :\; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}_{+},f(x)=x^2$$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}$  — не является инъективным, так как $f(-<!--\; -\; -->2)=f(2)=4$$f(-2)=f(2)=4$ .

ПрименениеПравить

• Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных.
• Идеальная хеш-функция является инъективной.

ОбобщенияПравить

• Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма. Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.

ЛитератураПравить

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.