Осцилляции Фриделя

Осцилляции Фриделя — периодическое распределение электронной плотности, возникающее при экранировании электрического заряда дефекта в вырожденном проводнике. Квантовый эффект, обусловленный интерференцией электронных волн зарядов, рассеивающихся на дефекте. Двумерные фриделевские осцилляции поверхностных состояний металла могут наблюдаться с помощью сканирующего туннельного микроскопа. Осцилляции плотности заряда вокруг дефекта названы в честь, теоретически предсказавшего их в 1952 году, французского физика Жака Фриделя.

Фриделевские осцилляции в двумерном электронном газе.

Физическая природа явленияПравить

Осцилляции плотности заряда вокруг дефекта возникают вследствие локализованных возмущений в металлической или полупроводниковой системе, вызванных дефектом в ферми-газе или ферми-жидкости.

 

Рис. 1. Экранирование отрицательно заряженной частицы в «бассейне» положительных ионов.

В классическом сценарии экранирования электрического заряда отдельной заряженной частицы, помещённой в квазинейтральную среду, содержащую положительные и отрицательные заряды (например, плазма, электролит или полупроводник), при удалении от частицы электрическое поле экспоненциально уменьшается (на расстоянии дебаевского радиуса экранирования). Это явление описывается уравнением Пуассона — Больцмана.

Осцилляции Фриделя являются квантовомеханическим аналогом экранирования электрического заряда заряженных частиц в «бассейне» ионов (см. Рис. 1). В то время как классическая теория экранирования электрического заряда использует понятие точечных зарядов для описания состава ионного «бассейна», осцилляции Фриделя, формируемые фермионами в ферми-жидкости или ферми-газе, требуют квантового описания рассеяния электронных волн на потенциале дефекта. Существование резкой границы длин электронных волн, определяемой энергией Ферми, приводит к возникновению эффектов квантовой интерференции, в результате чего вокруг рассеивающего центра возникает гало заряда. Такие осцилляции отражают характерное экспоненциальное затухание фермионной плотности вблизи возмущения, за которым следует затухание $1/r^d$$1/r^{d}$  с пространственными осцилляциями, имеющими период $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}r=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/k_F$$\Delta r=\pi /k_{F}$  (r — расстояние от дефекта, $d$$d$  — размерность системы, $k_F$$k_{F}$  — волновой вектор Ферми).

Фриделевские осцилляции влияют на время релаксации электронов проводимости при рассеянии на дефектах, которое в свою очередь определяет величину кинетических коэффициентов (проводимость, теплопроводность и другие) металлов и их температурную зависимость. Осцилляции Фриделя могут быть также источником взаимных взаимодействий между примесными атомами за счёт того, что энергия связи одного такого атома в твёрдом теле зависит от электронной плотности в точке, в которой он находится, и эта величина колеблется вокруг другого примесного атома. В случае, когда осцилляции Фриделя формируются спинами одной ориентации, они могут составить основу спиновых фильтров, которые являются важными элементами приложений электронных устройств, размером в несколько нанометров.

Рассеяние на дефектеПравить

Электроны в металле или вырожденном полупроводнике являются фермионами и подчиняются статистике Ферми — Дирака. Каждое k-состояние (k — волновой вектор) может быть занято только двумя электронами с противоположным спином. Занятые состояния заполняют сферу в зонной структуре k-пространства до фиксированного энергетического уровня — энергии Ферми ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F.$$\varepsilon _{F}\,.$  В модели свободных электронов радиус шара в k-пространстве равен волновому вектору Ферми, $k_F=\sqrt{2m^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F}/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$k_{F}={\sqrt {2m^{*}\varepsilon _{F}}}/\hbar$ , где $m^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$m^{*}$  — эффективная масса, $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$  — приведённая постоянная Планка.

Если в металле или полупроводнике находится чужеродный атом (дефект), электроны проводимости, свободно двигающиеся в проводнике, рассеиваются потенциалом дефекта. Поскольку электронный газ является ферми-газом, только электроны с энергиями, близкими к уровню Ферми, могут участвовать в процессе рассеяния, так как должны существовать пустые конечные состояния с близкой энергией, в которые могли бы перейти электроны после рассеяния. Состояния вокруг уровня Ферми занимают ограниченный диапазон k — значений или длин волн. Поэтому только электроны в ограниченном диапазоне длин волн вблизи энергии Ферми рассеиваются, что приводит к модуляции плотности заряда $n\left(\mathbf{r}\right)$$n\left(\mathbf {r} \right)$  вокруг дефекта. Для сферически симметричного потенциала примеси, имеющей положительный заряд, в трёхмерном металле избыточная плотность заряда осциллирует, как функция расстояния от дефекта $|\mathit{r}|$$|{\boldsymbol {r}}|$ :

${\begin{aligned}&\delta n\left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4{{\pi }^{2}}{{r}^{3}}\epsilon \left(2{{k}_{F}}\right)}}\sum \limits _{l}{{{(-1)}^{l}}\left(2l+1\right)}\times \\&{{\delta }_{l}}\left({{k}_{F}}\right)\cos \left(2{{k}_{F}}r+{{\delta }_{l}}\right),\\\end{aligned}}$ 

где $l$$l$  — орбитальное квантовое число, ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l$$\delta _{l}$  — фаза рассеяния парциальной компоненты волновой функции электрона, $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\left(2k_F\right)$$\epsilon \left(2{{k}_{F}}\right)$  — диэлектрическая проницаемость металла с волновым вектором, равным удвоенному волновому вектору Ферми. Избыточное количество электронов вокруг примесного иона определяется правилом сумм Фриделя:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}N=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{l}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left(2l+1\right){\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_l\left(k_F\right).$$\Delta N={\frac {2}{\pi }}\sum \limits _{l}{\left(2l+1\right)}{{\delta }_{l}}\left({{k}_{F}}\right).$ 

Правило сумм следует из электронейтральности системы, поскольку этот дополнительный заряд (по сравнению с зарядом ионов решётки) примеси должен компенсироваться избыточными зарядами свободных электронов.

Для произвольной размерности электронной системы, $d=1,2,3$$d=1,2,3$ , добавка к плотности заряда на больших расстояниях от дефекта имеет вид:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}n(\mathbf{r})\sim <!--\; \sim \; -->\frac{\cos <!--\; \; -->(2k_{\mathrm{F}}|\mathbf{r}|+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})}{|\mathbf{r}{|}^d}.$$\delta n(\mathbf {r} )\sim {\frac {\cos(2k_{\rm {F}}|\mathbf {r} |+\delta )}{|\mathbf {r} |^{d}}}\,.$ 

Из формулы для $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}n(\mathbf{r})$$\delta n(\mathbf {r} )$  следует, что вблизи дефекта электроны не просто скучиваются: в некоторых областях избыточная плотность заряда отрицательна, то есть электроны оттуда выталкиваются. Этот факт имеет большое значение для понимания явлений, связанных с взаимодействиями между примесями.

Визуализация двумерных осцилляцийПравить

 

Рис. 2. Изображение сканирующей туннельной микроскопии примесей Cr и ступеней на поверхности Fe (001).

 

Рис. 3. Изображение сканирующей туннельной микроскопии наноостровков Co на поверхности Cu.

Сканирующая туннельная микроскопия позволяет с атомным разрешением исследовать локальную плотность электронных состояний (ЛПС), $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(\mathbf{r},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\right)$$\rho \left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)$ , вблизи поверхности проводника:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(\mathbf{r},\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\right)=\underset{\mathbf{k}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\left|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}\right)\right|}^2\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathbf{k}}\right),$$\rho \left(\mathbf {r} ,\varepsilon \right)=\sum \limits _{\mathbf {k} }{\left|{{\psi }_{\mathbf {k} }}\left(\mathbf {r} \right)\right|}^{2}\delta \left(\varepsilon -{{\varepsilon }_{\mathbf {k} }}\right)\,,$ 

где ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}\right)$${{\psi }_{\mathbf {k} }}\left(\mathbf {r} \right)$  — волновая функция электрона с учётом рассеяния на дефекте, ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{\mathbf{k}}$${{\varepsilon }_{\mathbf {k} }}$  — энергия электрона с двумерным волновым вектором $\mathbf{k},$$\mathbf {k} \,,$  $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\left(x\right)$$\delta \left(x\right)$  — дельта-функция Дирака.

Рассеяние на дефекте приводит к интерференции налетающих на дефект и рассеянных волн и изменению плотности состояний, что отражает рассеивающие свойства дефекта. Типичными дефектами поверхности являются адсорбированные инородные единичные атомы (точечные дефекты) и атомные ступени (линейные дефекты) (Рис. 2). Одним из способов понимания качественных характеристик стоячих волн у ступенчатого края (одномерные фриделевские осцилляции) является приближение, в котором плоский ступенчатый край моделируется непроницаемым барьером для поверхностных электронов. Ступенчатый край создает узел ЛПС, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(0,{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F\right)=0,$$\rho \left(0,{{\varepsilon }_{F}}\right)=0\,,$  на грани ступени $x=0$$x=0$ , а ЛПС на расстоянии $x$$x$  от ступени описывается уравнением:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(x,{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_F\right)=\frac{m^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left[1-<!--\; -\; -->J_0\left(2k_{F}x\right)\right],$$\rho \left(x,{{\varepsilon }_{F}}\right)={\frac {{m}^{*}}{\pi {{\hbar }^{2}}}}\left[1-{{J}_{0}}\left(2{{k}_{F}}x\right)\right]\,,$ 

где $J_0\left(x\right)$${{J}_{0}}\left(x\right)$  — функция Бесселя первого рода. Рис. 3 — двумерные осцилляции Фриделя проиллюстрированы СТМ-изображением чистой поверхности, на которой размещены наноостровки кобальта. На изображении хорошо видны двумерные фриделевские осцилляции плотности электронных состояний у точечных дефектов и границ островков.