Уравнение Пуассона — Больцмана

Уравнение Пуассона — Больцмана — дифференциальное уравнение, описывающее электростатическое взаимодействие между молекулами в электролитах. Уравнение Пуассона — Больцмана используется для решения задач молекулярной динамики, биофизики и электрохимии.

В системе СИ это уравнение может быть записано следующим образом:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})\right]=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})-<!--\; -\; -->\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{c}_i^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{z}_i{e}_0\exp <!--\; \; -->\left[\frac{-<!--\; -\; -->z_i{e}_0\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})}{k_{\mathrm{B}}T}\right]$$\nabla \cdot \left[\varepsilon ({\vec {r}})\nabla \varphi ({\vec {r}})\right]=-\rho ^{f}({\vec {r}})-\sum _{i}c_{i}^{\infty }z_{i}e_{0}\exp \left[{\frac {-z_{i}e_{0}\varphi ({\vec {r}})}{k_{\rm {B}}T}}\right]$

Здесь использованы следующие обозначения:

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$\varepsilon ({\vec {r}})$ — диэлектрическая проницаемость среды, которая в общем случае может быть функцией координат

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ — электрический потенциал

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r})$$\rho ^{f}({\vec {r}})$ — плотность электрического заряда в среде

$c_i^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$c_{i}^{\infty }$ — концентрация $i$$i$-го иона на бесконечности (средняя концентрация)

$z_i$$z_{i}$ — валентность иона, $e_0$$e_{0}$ — заряд электрона

$k_B$$k_B$ — постоянная Больцмана,

$T$$T$ — температура

Линеаризованный вид этого уравнения используется в теории Дебая—Хюккеля для определения ионной силы раствора.