Стоячая волна

Стоя́чая волна́ — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует.

Пример стоячей волны (чёрная линия), возникшей в результате интерференции двух гармонических волн (красная и синяя линии) одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся во встречных направлениях. Красные точки обозначают узлы — точки или области в пространстве, в которых амплитуда колебательного процесса минимальна и равна разности амплитуд интерферирующих волн (амплитуда стоячей волны в узлах равна нулю). Посередине между каждой парой соседних узлов располагается пучность — точка или область в пространстве, в которой амплитуда максимальна и равна сумме амплитуд интерферирующих волн (амплитуда стоячей волны в пучностях вдвое больше амплитуды каждой из интерферирующих волн). Фаза колебательного процесса стоячей волны при переходе через узел меняется на 180° (говорят, что колебания синфазны в пространстве с точностью до 180°). В данном примере расстояние между соседними узлами составляет половину длины волны интерферирующих волн, значение коэффициента стоячей волны (отноношение амплитуд колебаний в пучности и узле) стремится к бесконечности

Стоячая волна (электромагнитная) — периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отражённой волн.

Стоячая волна — колебательный (волновой) процесс в распределённых колебательных системах с характерным устойчивым в пространстве расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Такой колебательный процесс возникает при интерференции нескольких когерентных волн.

Например, стоячая волна возникает при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, направления распространения падающей и отражённой волн друг относительно друга, изменение или сохранение поляризации волн при отражении, коэффициент затухания волн в среде распространения. Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной же среде наблюдается режим смешанных волн, поскольку всегда присутствует перенос энергии к местам поглощения и излучения. Если при падении волны происходит её полное поглощение, то отражённая волна отсутствует, интерференции волн нет, амплитуда волнового процесса в пространстве постоянна. Такой волновой процесс называют бегущей волной.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе — волны Шумана. Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.

• 

  Двумерная стоячая волна на упругом диске. Основная мода

• 

  Более высокая мода стоячей волны на упругом диске

В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

$u=u_0\cos <!--\; \; -->kx\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$u=u_{0}\cos kx\cos(\omega t-\varphi )$,

где $u$$u$ — возмущения в точке х в момент времени t, $u_0$$u_{0}$ — амплитуда стоячей волны, $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ — частота , k — волновой вектор, $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

МодыПравить

Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определенные дискретные значения. Колебания с определенными значениями волнового вектора называются модами.

Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.

Математическое описание стоячих волнПравить

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отражённую волны в виде:

$y_1=y_0\sin <!--\; \; -->(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)$ 

$y_2=y_0\sin <!--\; \; -->(kx+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t)$ 

где:

• y₀ — амплитуда волны,
• $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,
• k — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  поделённое на длину волны $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ ,
• x и t — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y₁ и y₂:

$y=y_0\sin <!--\; \; -->(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+y_0\sin <!--\; \; -->(kx+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t).$$y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).$ 

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

$y=2y_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)\sin <!--\; \; -->(kx).$$y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).$ 

Если рассматривать моды $x=0,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}/2,3\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}/2,...$$x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...$  и антимоды $x=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}/4,3\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}/4,5\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}/4,...$$x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...$ , то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}/2$$\lambda /2$ .

Волновое уравнениеПравить

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера)

$$\left({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\frac{1}{v^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}\right)u=0$$

 

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

$$\left({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2-<!--\; -\; -->\frac{1}{v^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}\right)u=f_{0}u,$$

 

где $f_0$$f_0$  — выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определенной точке струны, стоячая волна возникает автоматически.

См. такжеПравить

• Фигуры Хладни
• Интерференция
• Голография
• Длинная линия
• Телеграфные уравнения

СсылкиПравить

• Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»