Нормальное расслоение

Норма́льное расслое́ние подмногообразия $X$$\displaystyle X$ риманова многообразия — векторное расслоение, состоящее из касательных векторов к объемлющему многообразию, которые перпендикулярны к $X.$$\displaystyle X.$

Слой этого расслоения в точке $p\in <!--\; \in \; -->X$$p\in X$ называется нормальным пространством в точке $p.$$\displaystyle p.$

СвойстваПравить

Пусть $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\,:X\to Y$  есть погружение, ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_X:TX\to <!--\; \to \; -->X$$\tau _{X}\,:TX\to X$  и ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_Y:TY\to <!--\; \to \; -->Y$$\tau _{Y}\,:TY\to Y$  — касательные расслоения соответственно подмногообразий $X$$\displaystyle X$  и $Y,$$\displaystyle Y,$  $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_Y)$$\displaystyle f^{*}(\tau _{Y})$  — расслоение, индуцированное касательным расслоением ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_X,$$\displaystyle \tau _{X},$  а ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_X:NX\to <!--\; \to \; -->X$$\nu _{X}\,:NX\to X$  — нормальное расслоение $X.$$\displaystyle X.$ 

• Тогда

$f^{\ast <!--\; \ast \; -->}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_Y)={\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_X\oplus <!--\; \oplus \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_X.$$f^{*}(\tau _{Y})=\nu _{X}\oplus \tau _{X}.$ 

Отсюда следует, что нормальное расслоение изоморфно фактор-расслоению $f^{\ast <!--\; \ast \; -->}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_Y)$$\displaystyle f^{*}(\tau _{Y})$  по подрасслоению ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_X$$\displaystyle \tau _{X}$ .

• В частности, для любой пары римановых метрик на $Y$$\displaystyle Y$  определяемые ими нормальные расслоения изоморфны.