Кубическая пирамида

Кубическая пирамида
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной кубической пирамиды в трёхмерное пространство
Тип	Многогранная пирамида[en]
Символ Шлефли	( ) ∨ {4,3} ( ) ∨ [{4} × { }] ( ) ∨ [{ } × { } × { }]
Ячеек	7
Граней	18
Рёбер	20
Вершин	9
Двойственный политоп	Октаэдрическая пирамида

Куби́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): многогранная пирамида^[en], имеющая основанием куб.

Проекция вращающейся кубической пирамиды в трёхмерное пространство

Ортогональная двумерная проекция вращающейся правильногранной кубической пирамиды

ОписаниеПравить

Ограничена 7 трёхмерными ячейками — 6 квадратными пирамидами и 1 кубом. Кубическая ячейка окружена всеми шестью пирамидальными; каждая пирамидальная ячейка окружена кубической и четырьмя пирамидальными.

У кубической пирамиды 18 граней — 6 квадратов и 12 треугольников. Каждая квадратная грань разделяет кубическую и пирамидальную ячейки, каждая треугольная — две пирамидальных.

Имеет 20 рёбер. На каждом ребре сходятся по три грани и по три ячейки: для 12 рёбер это две квадратных и треугольная грани, кубическая и две пирамидальных ячейки; для остальных 8 рёбер — три треугольных грани, три пирамидальных ячейки.

Имеет 9 вершин. В 8 вершинах сходятся по 4 ребра, по 6 граней (три квадратных, три треугольных) и по 4 ячейки (кубическая, три пирамидальных); в 1 вершине — 8 рёбер, все 12 треугольных граней и все 6 пирамидальных ячеек.

Правильногранная кубическая пирамидаПравить

Если все рёбра кубической пирамиды имеют равную длину $a$$a$ , все её грани являются правильными многоугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как

$V_4=\frac{1}{8}{a}^4=\mathrm{0,125}0000a^4,$$V_{4}={\frac {1}{8}}\;a^{4}=0{,}1250000a^{4},$ 

$S_3=\left(1+\sqrt{2}\right)a^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{2,414}2136a^3.$$S_{3}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 2{,}4142136a^{3}.$ 

Высота пирамиды при этом будет равна

$H=\frac{1}{2}a=\mathrm{0,500}0000a,$$H={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,$ 

радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) —

$R=a=\mathrm{1,000}0000a,$$R=a=1{,}0000000a,$ 

радиус большей полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1=\frac{\sqrt{3}}{2}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,866}0254a,$$\rho _{1}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\approx 0{,}8660254a,$ 

радиус меньшей полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней) —

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2=\frac{1}{2}\left(\sqrt{6}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}\right)a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,517}6381a,$$\rho _{2}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)a\approx 0{,}5176381a,$ 

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —

$r=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-<!--\; -\; -->1\right)a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,207}1068a.$$r={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)a\approx 0{,}2071068a.$ 

Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды; центры описанной и большей полувписанной гиперсфер — в одной и той же точке вне пирамиды, симметричной вершине пирамиды относительно её основания; центр меньшей полувписанной гиперсферы — в другой точке вне пирамиды.

Такую пирамиду можно получить, взяв выпуклую оболочку любой вершины двадцатичетырёхъячейника и всех 8 соседних вершин, соединённых с ней ребром.

Угол между двумя смежными пирамидальными ячейками будет равен ${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->},$$120^{\circ },$  как и между смежными октаэдрическими ячейками в двадцатичетырёхъячейнике. Угол между кубической ячейкой и любой пирамидальной будет равен ${45}^{\circ <!--\; \circ \; -->}.$$45^{\circ }.$ 

В координатахПравить

Правильногранную кубическую пирамиду с длиной ребра $2$$2$  можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $\left(\pm <!--\; \pm \; -->1;\pm <!--\; \pm \; -->1;\pm <!--\; \pm \; -->1;0\right),$$\left(\pm 1;\;\pm 1;\;\pm 1;\;0\right),$ 
• $\left(0;0;0;1\right).$$\left(0;\;0;\;0;\;1\right).$ 

При этом центры описанной и большей полувписанной гиперсфер будут располагаться в точке $(0;0;0;-<!--\; -\; -->1),$$(0;\;0;\;0;\;-1),$  центр меньшей полувписанной гиперсферы — в точке $(0;0;0;\sqrt{3}-<!--\; -\; -->2),$$(0;\;0;\;0;\;{\sqrt {3}}-2),$  центр вписанной гиперсферы — в точке $(0;0;0;\sqrt{2}-<!--\; -\; -->1).$$(0;\;0;\;0;\;{\sqrt {2}}-1).$ 

Заполнение пространстваПравить

Тессеракт можно разрезать на 8 одинаковых правильногранных кубических пирамид (с вершинами в центре тессеракта и основаниями на его восьми кубических ячейках) — подобно тому, как куб разрезается на 6 квадратных пирамид (которые, однако, в данном случае правильногранными не будут).

А поскольку тессерактами возможно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений, правильногранная кубическая пирамида тоже является заполняющим четырёхмерное пространство многоячейником.

Доказать это можно и по-другому: разрезав двадцатичетырёхъячейник (также заполняющий четырёхмерное пространство) на 16 одинаковых правильногранных кубических пирамид.

СсылкиПравить

• Richard Klitzing. Cubical pyramid