Обратная функция

Не следует путать с Обратная величина.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции $f$$f$ обычно обозначается $f^{-<!--\; -\; -->1}$$f^{-1}$, иногда также используется обозначение $f^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}}$$f^{\mathrm{inv}}$.

Функция $f$$f$ и обратная ей функция $f^{-<!--\; -\; -->1}$$f^{-1}$. Если $f(a)=3$$f(a)=3$, то $f^{-<!--\; -\; -->1}(3)=a$$f^{-1}(3)=a$

Функция, имеющая обратную, называется обратимой.

ОпределениеПравить

Функция $g:Y\to <!--\; \to \; -->X$$g:Y\to X$  называется обратной к функции $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$ , если выполнены следующие тождества:

• $f(g(y))=y$$f(g(y))=y$  для всех $y\in <!--\; \in \; -->Y;$$y\in Y;$ 
• $g(f(x))=x$$g(f(x))=x$  для всех $x\in <!--\; \in \; -->X.$$x\in X.$ 

Связанные определенияПравить

• Функция $g:Y\to <!--\; \to \; -->X$$g:Y\to X$  называется левой обратной к функции $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$ , если $g(f(x))=x$$g(f(x))=x$  для всех $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ .
• Функция $g:Y\to <!--\; \to \; -->X$$g:Y\to X$  называется правой обратной к функции $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$ , если $f(g(y))=y$$f(g(y))=y$  для всех $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$ .

СуществованиеПравить

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y=f(x)$$y = f(x)$  относительно $x$$x$ . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к $f$$f$  не существует. Таким образом, функция $f(x)$$f(x)$  обратима на интервале $(a;b)$$(a;b)$  тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции $F(y)$$F(y)$  выразить $y$$y$  из уравнения $x-<!--\; -\; -->F(y)=0$$x - F(y) = 0$  возможно в том и только том случае, когда функция $F(y)$$F(y)$  строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, $\sqrt{x}$$\sqrt{x}$  является обратной функцией к $x^2$$x^{2}$  на $[0,+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$[0, +\infty)$ , хотя на промежутке $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},0]$$(-\infty, 0]$  обратная функция другая: $-<!--\; -\; -->\sqrt{x}$$-\sqrt{x}$ .

Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция $y=x+D(x),$$y=x+D(x),$  где $D(x)$$D(x)$  — функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует: $x=y-<!--\; -\; -->D(y).$$x=y-D(y).$ 

ПримерыПравить

• Если $F:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}_{+},F(x)=a^x$$F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$ , где $a>0,a\ne <!--\; \ne \; -->1,$$a>0,a\neq 1,$  то $F^{-<!--\; -\; -->1}(x)={\log }_a<!--\; \; -->x.$$F^{-1}(x) = \log_a x.$ 
• Если $F(x)=ax+b,x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$ , где $a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$a,b\in \mathbb{R}$  фиксированные постоянные и $a\ne <!--\; \ne \; -->0$$a \neq 0$ , то $F^{-<!--\; -\; -->1}(x)=\frac{x-<!--\; -\; -->b}{a}.$$F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.$ 
• Если $F(x)=x^n,x\ge <!--\; \ge \; -->0,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$ , то $F^{-<!--\; -\; -->1}(x)=\sqrt[n]{x}.$$F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.$ 

СвойстваПравить

 

Графики функции и обратной ей

• Областью определения $F^{-<!--\; -\; -->1}$$F^{-1}$  является множество $Y$$Y$ , а областью значений — множество $X$$X$ .
• По построению имеем:

$y=F(x)\iff <!--\; \iff \; -->x=F^{-<!--\; -\; -->1}(y)$$y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)$ 

или

$F\left(F^{-<!--\; -\; -->1}(y)\right)=y,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->Y$$F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y$ ,

$F^{-<!--\; -\; -->1}(F(x))=x,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X$$F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X$ ,

или короче

$F\circ <!--\; \circ \; -->F^{-<!--\; -\; -->1}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$$F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y$ ,

$F^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->F={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$$F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X$ ,

где $\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$  означает композицию функций, а ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$$\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y$  — тождественные отображения на $X$$X$  и $Y$$Y$  соответственно.

• Такое отображение $G:<!--\; :\; -->Y\to <!--\; \to \; -->X$$G\colon \,Y\to X$ , что $F\circ <!--\; \circ \; -->G={\mathrm{i}\mathrm{d}}_Y$$F\circ G=\mathrm {id} _{Y}$  («обратное справа»), называется сечением отображения $F$$F$ .

• Функция $F$$F$  является обратной к $F^{-<!--\; -\; -->1}$$F^{-1}$ :

${\left(F^{-<!--\; -\; -->1}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}=F$$\left(F^{-1}\right)^{-1} = F$ .

• Пусть $F:X\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->Y\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$  — биекция. Пусть $F^{-<!--\; -\; -->1}:Y\to <!--\; \to \; -->X$$F^{-1}:Y \to X$  её обратная функция. Тогда графики функций $y=F(x)$$y = F(x)$  и $y=F^{-<!--\; -\; -->1}(x)$$y = F^{-1}(x)$  симметричны относительно прямой $y=x$$y = x$ .
• Также, если у функции $f(x)$$f(x)$  есть обратная ей $f^{-<!--\; -\; -->1}(x)$$f^{-1}(x)$ , то графики этих функций будут симметричны относительно линии $y=x$$y=x$ .

Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть ${\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)}^{-<!--\; -\; -->1}=g^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}$${\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ .

Доказательство

Поскольку $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=e$$\alpha \circ {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\circ \alpha =e$  и $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->e=e\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha$  для любой обратимой функции $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , где $e$$e$  — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства. Имеем: $e=e⟺<!--\; ⟺\; -->e=f\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}⟺<!--\; ⟺\; -->e=f\circ <!--\; \circ \; -->g\circ <!--\; \circ \; -->g^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}⟺<!--\; ⟺\; -->e=\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)\circ <!--\; \circ \; -->\left(g^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}\right).$$e=e\Longleftrightarrow e=f\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=f\circ g\circ g^{-1}\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right).$  Подействуем слева функцией ${\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)}^{-<!--\; -\; -->1}$${\left(f\circ g\right)}^{-1}$  и получим: ${\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)}^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->\mid <!--\; \mid \; -->e=\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)\circ <!--\; \circ \; -->\left(g^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}\right)⟺<!--\; ⟺\; -->{\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)}^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->e={\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)}^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)\circ <!--\; \circ \; -->\left(g^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}\right)⟺<!--\; ⟺\; -->{\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)}^{-<!--\; -\; -->1}=e\circ <!--\; \circ \; -->\left(g^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}\right)⟺<!--\; ⟺\; -->{\left(f\circ <!--\; \circ \; -->g\right)}^{-<!--\; -\; -->1}=g^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}.$${\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \mid e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ e={\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=e\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$  Теорема доказана.

Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».

Разложение в степенной рядПравить

Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки $x_0$$x_{0}$  функции может быть представлена в виде степенного ряда:

$f^{-<!--\; -\; -->1}(y)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_k(x_0)\frac{(y-<!--\; -\; -->f(x_0){)}^k}{k!},$$f^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},$ 

где функции $A_k$$A_k$  задаются рекурсивной формулой:

$A_n(x)=\{\begin{array}{l}x,n=0\\ \frac{A_{n-<!--\; -\; -->1}^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)},n>0\end{array}$$A_{n}(x)={\begin{cases}x\;,\;n=0\\{\frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)}}\;,\;n>0\end{cases}}$ 

См. такжеПравить

• Теорема Лагранжа об обращении рядов
• Обратные тригонометрические функции
• Обратимая функция