Теорема Лагранжа об обращении рядов

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

ФормулировкаПравить

Пусть функция $f(z)$$f(z)$  аналитична в точке $z_0$$z_{0}$  и $f^{\prime }(z_0)\ne <!--\; \ne \; -->0$$f'(z_{0})\neq 0$ . Тогда в некоторой окрестности точки $w_0=f(z_0)$$w_{0}=f(z_{0})$  обратная к ней функция $f^{-<!--\; -\; -->1}(w)$$f^{{-1}}(w)$  представима рядом вида

$f^{-<!--\; -\; -->1}(w)=z_0+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n!}{\left(\frac{d^{n-<!--\; -\; -->1}}{d{z}^{n-<!--\; -\; -->1}}{\left(\frac{z-<!--\; -\; -->z_0}{f(z)-<!--\; -\; -->w_0}\right)}^n\right)|}_{z=z_0}(w-<!--\; -\; -->w_0{)}^n.$$f^{{-1}}(w)=z_{0}+\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left.\left({\frac {d^{{n-1}}}{dz^{{n-1}}}}\left({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\right)^{n}\right)\right|_{{z=z_{0}}}(w-w_{0})^{n}.$ 

ПримененияПравить

Ряд Бюрмана — ЛагранжаПравить

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции $f(z)$$f(z)$  по степеням другой голоморфной функции $w(z)$$w(z)$  и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть $f(z)$$f(z)$  и $w(z)$$w(z)$  голоморфны в окрестности некоторой точки $a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$a\in \mathbb {C}$ , притом $w(a)=0$$w(a)=0$  и $a$$a$  — простой нуль функции $w(z)$$w(z)$ . Теперь выберем некую область $D\ni <!--\; \ni \; -->a$$D\ni a$ , в которой $f$$f$  и $w$$w$  голоморфны, а $w$$w$  однолистна в $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{D}$$\overline {D}$ . Тогда имеет место разложение вида:

$f(z)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{d}_n{w}^n(z),$$f(z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),$ 

где коэффициенты $d_n$$d_{n}$  вычисляются по следующему выражению:

$d_n=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}\underset{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}D}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{f(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})w^{\prime }(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})}{w^{n+1}(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})}d\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=\frac{1}{n!}\underset{z\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\frac{d^{n-<!--\; -\; -->1}}{d{z}^{n-<!--\; -\; -->1}}\left\{f^{\prime }(z)\frac{(z-<!--\; -\; -->a{)}^n}{w^n(z)}\right\}.$$d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{{\partial D}}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{{n+1}}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!}}\lim _{{z\to a}}{\frac {d^{{n-1}}}{dz^{{n-1}}}}\left\{f'(z){\frac {(z-a)^{n}}{w^{n}(z)}}\right\}.$ 

Теорема об обращении рядовПравить

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида $w=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{z}^n$$w=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$ . Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда $z=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_n{w}^n$$z=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}$ :

$b_n=\frac{1}{n!}\underset{z\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{d^{n-<!--\; -\; -->1}}{d{z}^{n-<!--\; -\; -->1}}{\left(\frac{z}{w}\right)}^n.$$b_{n}={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{n}.$ 

ОбобщенияПравить

В условиях теоремы для суперпозиции вида $F\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}$$F\circ f^{{-1}}$  справедливо представление в виде ряда

$F(f^{-<!--\; -\; -->1}(w))=z_0+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n!}{\left(\frac{d^{n-<!--\; -\; -->1}}{d{z}^{n-<!--\; -\; -->1}}\left(F^{\prime }(z){\left(\frac{z-<!--\; -\; -->z_0}{f(z)-<!--\; -\; -->w_0}\right)}^n\right)\right)|}_{z=z_0}(w-<!--\; -\; -->w_0{)}^n.$$F(f^{-1}(w))=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left.\left({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(F'(z)\left({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\right)^{n}\right)\right)\right|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.$ 

ЛитератураПравить

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Lagrange expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Lagrange Inversion Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Bürmann's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Series Reversion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Bürmann-Lagrange series (англ.)