Континуум-гипотеза

Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Континуум-гипотеза
Названо в честь	континуум
Первооткрыватель или изобретатель	Георг Кантор
Дата открытия	1877
Описывающая закон или теорему формула	${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\le <!--\; \le \; -->2^{{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0\vee <!--\; \vee \; -->\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}=2^{{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0}$$\aleph _{0}\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\Rightarrow \kappa =\aleph _{0}\lor \kappa =2^{\aleph _{0}}$
Обозначение в формуле	${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$$\aleph_0$, $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$, $\vee <!--\; \vee \; -->$$\lor$ и $2^{{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0}$$2^{\aleph_0}$
Кем решена	Курт Гёдель и Пол Коэн

Если принять аксиому выбора, то континуум-гипотеза равносильна тому, что $2^{{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0}={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1$$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$.

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем была показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).

Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD). При этом утверждение $2^{{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0}={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1$$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$ в ней неверно; более того, мощность континуума и ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1$$\aleph_1$ в ней несравнимы.

ИсторияПравить

См. также: Иерархия алефов

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга^[en] доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы $\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}+\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}\mathrm{C}\mathrm{H}$$\mathrm {ZFC+\neg CH}$  имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  может выполняться равенство $\mathfrak{c}={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$${\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }$ ? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона^[en].

Эквивалентные формулировкиПравить

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

• Прямая $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел $a,b,c,d$$a,b,c,d$  не выполняется условие $a+b=c+d$$a+b=c+d$ .
• Плоскость ${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$  может быть полностью покрыта счётным семейством множеств, каждое из которых имеет вид $y=f(x)$$y=f(x)$  (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или $x=f(y)$$x=f(y)$  (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой).
• Пространство ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$  можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям $Ox$$Ox$ , $Oy$$Oy$  и $Oz$$Oz$ , соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось).
• Пространство ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$  можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка $P$$P$ , что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через $P$$P$ , лишь в конечном числе точек.

Вариации и обобщенияПравить

Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$  выполняется равенство $2^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}={\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^{+}$$2^{\kappa }=\kappa ^{+}$ ; где ${\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^{+}$$\kappa ^{+}$  обозначает следующий за $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$  кардинал. Другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество $S$$S$ , найдётся подмножество, равномощное булеану $\mathcal{P}(S)$${\mathcal {P}}(S)$ .

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.

См. такжеПравить

• Аксиома Мартина

ЛитератураПравить

• Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1970. — Вып. 9. — С. 248—261.
• Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.
• Фёдор Пахомов. Аксиома детерминированности  (рус.) (2019). Дата обращения: 11 марта 2023.
• Thomas Jech. The Axiom of Choice (англ.). — North-Holland Publishing Company, 1973. — 202 p.