Нормальная форма дифференциальных уравнений

Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.

Впервые идея построения нормальной формы уравнений была сформулирована выдающимся французским учёным Анри Пуанкаре в работе о новых методах небесной механики. Основная мысль, высказанная Пуанкаре, состоит в том, чтобы не стараться всеми силами решить исходные уравнения, а найти такую замену переменных, которая привела бы уравнения к простейшему, по возможности, к линейному виду. Используя обратную замену переменных, можно восстановить исходное решение. Ключевой вопрос — всегда ли существует такая взаимооднозначная замена переменных, что её результатом будут линейные уравнения, — решен в общем случае отрицательно. Оказалось, что если система имеет резонанс в особой точке, то в окрестности этой точки искомой замены нет. Полученные в результате нормализующих преобразований уравнения получили краткое название «нормальная форма».

Примеры нормальных формПравить

1. Нормальная форма автономной системы дифференциальных уравнений в окрестности «неособой» точки (где задаваемое этой системой векторное поле в фазовом пространстве $(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$(x_{1},\ldots ,x_{n})$  отлично от нуля):

$\frac{d{x}_1}{dt}=1,\frac{d{x}_2}{dt}=\cdots <!--\; \cdots \; -->=\frac{d{x}_n}{dt}=0,$${\frac {dx_{1}}{dt}}=1,\ {\frac {dx_{2}}{dt}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{dt}}=0,$ 

2. Нормальная форма вырожденных уравнений «взрывной неустойчивости»

$\frac{dx}{dt}=x^2$${\frac {dx}{dt}}=x^{2}$ 

есть исходная форма. Уравнения не сводятся к линейным из-за нулевого собственного значения. Если собственное число — ноль, то резонанс есть всегда.

3. Нормальная форма уравнений линейного осциллятора

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+x=0$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0$ 

представляется парой линейных уравнений для комплексно-сопряженных переменных

$\frac{dz}{dt}+iz=0$${\frac {dz}{dt}}+iz=0$ 

и

$\frac{d{z}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{dt}-<!--\; -\; -->i{z}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=0,$${\frac {dz^{*}}{dt}}-iz^{*}=0,$ 

где $z=x+i\frac{dx}{dt}$$z=x+i{\frac {dx}{dt}}$  есть нормальная координата.

4. Нормальная форма логистического уравнения с квадратичной нелинейностью

$\frac{dx}{dt}=-<!--\; -\; -->x+c{x}^2$${\frac {dx}{dt}}=-x+cx^{2}$ 

есть следующая линейная форма

$\frac{dy}{dt}=-<!--\; -\; -->y.$${\frac {dy}{dt}}=-y.$ 

В том, что $y$$y$  есть нормальная координата, можно убедиться непосредственной подстановкой

$x=y+\frac{y}{1+cy},$$x=y+{\frac {y}{1+cy}},$ 

которая получается в результате применения асимптотической процедуры построения нормализующего преобразования.

5. Нормальная форма уравнений нелинейного осциллятора с затуханием

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\frac{dx}{dt}+x+f(x)=0$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\epsilon {\frac {dx}{dt}}+x+f(x)=0$ 

есть пара линейных комплексно-сопряженных уравнений

$\frac{dz}{dt}-<!--\; -\; -->(i\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}^2}-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})z=0$${\frac {dz}{dt}}-(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}-\epsilon )z=0$ 

и

$\frac{d{z}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{dt}+(i\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}^2}+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})z^{\ast <!--\; \ast \; -->}=0,$${\frac {dz^{*}}{dt}}+(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}+\epsilon )z^{*}=0,$ 

где $z$$z$  - искомая нормальная координата. Функция $f$$f$  - произвольный степенной ряд по аргументу $x$$x$ , начинающийся с квадратичных членов разложения.

6. Нормальная форма нелинейных уравнений движения в окрестности «седла»

$\frac{d{x}_1}{dt}=-<!--\; -\; -->x_1+h_1(x_1,x_2);$${\frac {dx_{1}}{dt}}=-x_{1}+h_{1}(x_{1},x_{2});$ 

$\frac{d{x}_2}{dt}=x_2+h_1(x_1,x_2),$${\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{2}+h_{1}(x_{1},x_{2}),$ 

где $h_1$$h_{1}$  и $h_2$$h_{2}$  - произвольные степенные ряды, начинающиеся с квадратичных членов по переменным $x_1$$x_1$  и $x_2$$x_{2}$ , есть пара нелинейных уравнений

$\frac{d{y}_1}{dt}=-<!--\; -\; -->y_1+y_{1}f(y_1{y}_2);$${\frac {dy_{1}}{dt}}=-y_{1}+y_{1}f(y_{1}y_{2});$ 

$\frac{d{y}_2}{dt}=y_2+y_{2}g(y_1{y}_2),$${\frac {dy_{2}}{dt}}=y_{2}+y_{2}g(y_{1}y_{2}),$ 

где $f$$f$  и $g$$g$  — произвольные степенные ряды по единому аргументу $y_1{y}_2$$y_{1}y_{2}$ . В данном случае систему не удается привести к линейной нормальной форме из-за наличия резонанса.

7. Нормальная форма уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки (т. е. точки, вблизи которой уравнение не может быть однозначно разрешено относительно производной) — так называемая нормальная форма Чибрарио

$(\frac{dy}{dx}{)}^2=x,$${\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{2}=x,$ 

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
• Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
• Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, — Наука, Москва, 1979.
• Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, — Физматлит, Москва, 1998.
• Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Мир, Москва, 1970.
• Ильяшенко Ю. С., Яковенко С. Ю. Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей, — УМН, 1991, 46:1 (277).