Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая (асимптотическая линия) — кривая $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t)$$\gamma=\gamma(t)$ на гладкой регулярной поверхности $F$$F$ в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности $F$$F$, т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую кривизну. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением

${\mathrm{I}\mathrm{I}}_{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(t)}(\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(t),\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}(t))=0,$$\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))=0,$

где $\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{I\!I}$ — вторая фундаментальная форма поверхности $F$$F$.

Три типа точек поверхностиПравить

Точки, в которых гауссова кривизна $K<0$ , называются гиперболическими (примером поверхности, целиком состоящей из гиперболических точек, служит однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид); точки, в которых гауссова кривизна $K>0$$K>0$ , называются эллиптическими (примером поверхности, целиком состоящей из эллиптических точек, служит эллипсоид или двуполостный гиперболоид); точки, в которых гауссова кривизна $K=0$$K=0$ , но средняя кривизна $K\ne <!--\; \ne \; -->0$$K \neq 0$ , называются параболическими (примером поверхности, целиком состоящей из параболических точек, служит цилиндр). Параболические точки, как правило, образуют кривую, разделяющую поверхность на эллиптическую и гиперболическую области.

В области эллиптических точек асимптотических линий нет. В области гиперболических точек имеется ровно два семейства асимптотических линий, составляющие так называемую асимптотическую сеть: через каждую гиперболическую точку проходит по одной линии каждого семейства, они пересекаются под ненулевым углом. В параболических точках асимптотические линии имеют, как правило, особенность типа точки возврата (касп) и представляют собой полукубические параболы, лежащие (за исключением самой точки возврата) в гиперболической области, примыкающей к параболической линии.

СвойстваПравить

• Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к $F$$F$  в той же точке.
• (Теорема Бельтрами — Эннепера) Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности $F$$F$ .
• Прямолинейный отрезок на поверхности $F$$F$  всегда является асимптотической кривой. В частности, асимптотическими кривыми являются прямолинейные образующие поверхности.
• На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырёхугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  (формула Хаццидакиса).
• На минимальной поверхности асимптотическая сеть является ортогональной сетью.
• При проективном преобразовании $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  пространства асимптотические кривые поверхности $F$$F$  переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(F)$$\pi(F)$ .

Уравнение для графика функцииПравить

Пусть в евклидовом пространстве с координатами $x,y,z$$x,y,z$  и метрикой $d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$  поверхность задана в виде графика функции $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$ . Тогда в координатах $x,y$$x,y$  асимптотические линии поверхности задаются дифференциальным уравнением $f_{yy}d{y}^2+2f_{xy}dxdy+f_{xx}d{x}^2=0.$$f_{yy} \, dy^2 + 2f_{xy} \, dx dy + f_{xx} \, dx^2 = 0.$  Введя обозначение $p=dy/dx$$p=dy/dx$ , его можно переписать в виде $f_{yy}{p}^2+2f_{xy}p+f_{xx}=0.$$f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0.$  Дискриминант $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=f_{xy}^2-<!--\; -\; -->f_{xx}{f}_{yy}$$\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy}$  стоящего в левой части квадратного трёхчлена (относительно переменной $p$$p$ ) совпадает с гессианом функции $f(x,y)$$f(x,y)$ , взятым с обратным знаком, и уравнение $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=0$$\Delta=0$  задает на плоскости $(x,y)$$(x,y)$  кривую, состоящую из параболических точек поверхности (при условии, что один из коэффициентов $f_{xx}$$f_{{xx}}$  или $f_{yy}$$f_{yy}$  отличен от нуля), которая также является дискриминантной кривой данного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. В типичном случае почти во всех параболических точках это уравнение имеет нормальную форму Чибрарио, исключение составляют лишь точки, лежащие на дискриминантной кривой дискретно, в них нормальная форма уравнения более сложна. Ещё более сложную нормальную форму уравнение асимптотических линий имеет в точках, где все три коэффициента $f_{xx}$$f_{{xx}}$ , $f_{xy}$$f_{xy}$ , $f_{yy}$$f_{yy}$  обращаются в нуль одновременно, — это так называемые плоские омбилики, в которых $H=K=0$$H=K=0$ , т.е. все нормальные сечения поверхности имеют нулевую кривизну.

ПримерыПравить

• Все точки однополостного гиперболоида $x^2+y^2-<!--\; -\; -->z^2=1$$x^2+y^2-z^2=1$  относятся к гиперболическому типу. Уравнение асимптотических линий в данном случае принимает вид $(x^2-<!--\; -\; -->1)p^2-<!--\; -\; -->2xyp+y^2-<!--\; -\; -->1=0$$(x^2-1)p^2 - 2xyp + y^2-1 = 0$ , где $p=dy/dx$$p=dy/dx$ . Как легко проверить, общее решение этого уравнения задается формулой $y=ax+b$$y=ax+b$ , где параметры $a$$a$  и $b$$b$  подчинены соотношению $b^2-<!--\; -\; -->a^2=1$$b^2-a^2=1$ . Тем самым мы получаем два семейства (соответствующих разным знакам $\pm <!--\; \pm \; -->$$\pm$  в формуле $b=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{a^2+1}$$b = \pm \sqrt{a^2+1}$ ) асимптотических линий однополостного гиперболоида, совпадающих с семействами его прямолинейных образующих.

• Асимтотические линии конуса $x^2+y^2-<!--\; -\; -->z^2=0$$x^2+y^2-z^2=0$  также совпадают с его прямолинейными образующими. Так как все точки конуса параболические, то мы имеем ровно одно семейство асимптотических линий.

• В случае поверхности, заданной уравнением $z=y^2+x^{2}y+a{x}^4$$z=y^2 + x^2y + ax^4$ , имеем $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=(1-<!--\; -\; -->6a)x^2-<!--\; -\; -->y$$\Delta = (1-6a)x^2 - y$ . Линия параболических точек ($y=(1-<!--\; -\; -->6a)x^2$$y=(1-6a)x^2$ ) делит поверхность на эллиптическую ($y>(1-<!--\; -\; -->6a)x^2$$y>(1-6a)x^2$ ) и гиперболическую ($y<(1-6a)x^2$ ) области. В последней расположены два семейства асимптотических линий. Во всех параболических точках, за исключением начала координат ($x=y=0$$x=y=0$ ), уравнение асимптотических линий имеет нормальную форму Чибрарио, следовательно, асимптотические линии в окрестности этих точек имеют вид полукубических парабол. В начале координат сеть асимптотических линий имеет более сложную особенность, характер которой зависит от параметра $a$$a$ , см. статью.

• Асимптотическими кривыми на торе, заданном параметрически в виде:

  $\left\{ \begin{matrix} x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\ y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\ z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\ \end{matrix} \right. \qquad \phi, \psi \in [0,2\pi),$ 

являются два параллели $z=\pm <!--\; \pm \; -->r$$z=\pm r$ , разделяющие гиперболические и эллиптические области и целиком состоящие из параболических точек, и бесконечное число кривых специального вида, осциллирующих между этими двумя параллелями.

• Асимптотической кривой является ребро возврата на псевдосфере.

ЛитератураПравить

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Любое издание.
• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.