Неравенство Чебышёва

В Википедии существует статья о другом неравенстве, носящем имя Чебышёва — см. Неравенство Чебышёва для сумм.

Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

Неравенство Чебышёва в теории мерыПравить

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства $L_p$$L_{p}$  в слабое пространство $L_p$$L_{p}$ .

ФормулировкиПравить

• Пусть $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$  — пространство с мерой. Пусть также
  • $A\in <!--\; \in \; -->\mathcal{F}$$A\in {\mathcal {F}}$ 
  • $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\phi (x)\geqslant 0$  — суммируемая на $A$$A$  функция
  • $c>0$$c>0$ .

Тогда справедливо неравенство:

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(\{x:x\in <!--\; \in \; -->A,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)⩾<!--\; ⩾\; -->c\})⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{c}\underset{A}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)$$\mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}\phi (x)\mu (dx)$ .

• В более общем виде:

Если $g$$g$  — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ , то

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(\{x\in <!--\; \in \; -->A:\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)⩾<!--\; ⩾\; -->t\})⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{g(t)}{\int <!--\; \int \; -->}_{A}g\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx).$$\mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{A}g\circ \phi \,\mu (dx).$ 

• В терминах пространства $L_p$$L_{p}$ :

Пусть $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)\in <!--\; \in \; -->L_p$$\phi (x)\in L_{p}$ . Тогда $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(\{x\in <!--\; \in \; -->A||\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)|>t\})⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p^p}{t^p}.$$\mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.$ 

Неравенство Чебышёва может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.

Неравенство Чебышёва в теории вероятностейПравить

 

Неравенство Чебышёва, ограничивающее вероятность больших отклонений случайной величины от своего математического ожидания

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

ФормулировкиПравить

Пусть случайная величина $X:<!--\; :\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$X\colon \Omega \rightarrow {\mathbb {R}}$  определена на вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ , а её математическое ожидание $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  и дисперсия ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$$\sigma ^{2}$  конечны. Тогда

$\mathbb{P}\left(|X-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}|⩾<!--\; ⩾\; -->a\right)⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}{a^2}$${\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}$ ,

где $a>0$$a>0$ .

Если $a=k\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$a=k\sigma$ , где $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  — стандартное отклонение и $k>0$$k>0$ , то получаем

$\mathbb{P}\left(|X-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}|⩾<!--\; ⩾\; -->k\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\right)⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{1}{k^2}$${\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}$ .

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на $2$$2$  стандартных отклонения, с вероятностью меньше $25\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$25\%$ . Отклоняется от среднего на $3$$3$  стандартных отклонения с вероятностью меньше $11.12\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$11.12\%$ . Иными словами, случайная величина укладывается в $2$$2$  стандартных отклонения с вероятностью $75\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$75\%$  и в $3$$3$  стандартных отклонения с вероятностью $88.88\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$88.88\%$ 

Для важнейшего случая одномодальных распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом, граница в $3$$3$  стандартных отклонения включает $95.06\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$95.06\%$  значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где $3$$3$  стандартных отклонения включают $99.73\mathrm{\%<!--\; \%\; -->}$$99.73\%$  значений случайной величины.

См. такжеПравить

• Неравенство Маркова
• Оценка Чернова

ЛитератураПравить

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

• коллектив авторов. Московский математический сборник. — М., 1867. — Т. 2.

СсылкиПравить

• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва
• П. Л. Чебышевъ, “О среднихъ величинахъ”, Матем. сб., 2:1 (1867), 1–9