Неравенство Чебышёва для сумм

В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва — см. Неравенство Чебышёва.

Неравенство Чебышёва для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если

$a_1⩾<!--\; ⩾\; -->a_2⩾<!--\; ⩾\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩾<!--\; ⩾\; -->a_n$$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n$

и

$b_1⩾<!--\; ⩾\; -->b_2⩾<!--\; ⩾\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩾<!--\; ⩾\; -->b_n,$$b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n,$

то

$\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{b}_k⩾<!--\; ⩾\; -->\left(\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k\right).$${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Аналогично, если

$a_1⩾<!--\; ⩾\; -->a_2⩾<!--\; ⩾\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩾<!--\; ⩾\; -->a_n$$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n$

и

$b_1⩽<!--\; ⩽\; -->b_2⩽<!--\; ⩽\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->b_n,$$b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n,$

то

$\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{b}_k⩽<!--\; ⩽\; -->\left(\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k\right).$${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

ДоказательствоПравить

Неравенство Чебышёва для сумм легко выводится из перестановочного неравенства:

Предположим, что

$a_1⩾<!--\; ⩾\; -->a_2⩾<!--\; ⩾\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩾<!--\; ⩾\; -->a_n$$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n$ 

и

$b_1⩾<!--\; ⩾\; -->b_2⩾<!--\; ⩾\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩾<!--\; ⩾\; -->b_n.$$b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n}.$ 

В виду перестановочного неравенства выражение

$a_1{b}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n$$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}$ 

является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства

$a_1{b}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n$$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$ 

$a_1{b}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n⩾<!--\; ⩾\; -->a_1{b}_2+a_2{b}_3+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_1$$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}$ 

$a_1{b}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n⩾<!--\; ⩾\; -->a_1{b}_3+a_2{b}_4+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_2$$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}$ 

$⋮<!--\; ⋮\; -->$$\vdots$ 

$a_1{b}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n⩾<!--\; ⩾\; -->a_1{b}_n+a_2{b}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_{n-<!--\; -\; -->1}$$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n-1}$ 

получаем

$n(a_1{b}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n)⩾<!--\; ⩾\; -->(a_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n)(b_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+b_n);$$n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geqslant (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);$ 

или, разделив на $n^2$$n^{2}$ :

$\frac{(a_1{b}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n)}{n}⩾<!--\; ⩾\; -->\frac{(a_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n)}{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{(b_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+b_n)}{n}.$$\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geqslant \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.$ 

Непрерывный случайПравить

Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышёва для сумм:

Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то

$\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx⩾<!--\; ⩾\; -->\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx.$$\int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \limits _{0}^{1}g(x)\,dx.$