Неравенство Гаусса

В теории вероятностей неравенство Гаусса даёт верхнюю границу вероятности того, что одномодальная случайная величина выходит за пределы интервала с центром в её моде.

Пусть X — одномодальная случайная величина с модой m и пусть τ ² есть математическое ожидание (X − m)². (τ² может также быть выражено как (μ − m)² + σ², где μ и σ являются средним значением и стандартным отклонением X.)

$\Pr(|X-m|>k)\leq {\begin{cases}\left({\frac {2\tau }{3k}}\right)^{2},&{\text{if }}k\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}};\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}},&{\text{if }}0\leq k\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.\end{cases}}$

Эта теорема была впервые доказана Гауссом в 1823 году.

ДоказательствоПравить

Без ограничения общности можно считать, что мода находится в нуле, то есть $m=0$$m=0$ .

Переход к квантилямПравить

Рассмотрим вероятность того, что выполняется неравенство $\left|X\right|\le <!--\; \le \; -->x$$\left\vert X\right\vert \leq x$ , как функцию от $x$$x$ :

$p\left(x\right)=\underset{-<!--\; -\; -->x}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}f\left(z\right)dz.$$p\left(x\right)=\int \limits _{-x}^{x}f\left(z\right)dz.$ 

Так как $f\left(x\right)$$f\left(x\right)$  является неотрицательной функцией, то $p(x)$$p(x)$ растёт с ростом $x$$x$ .

Кроме того, по определению определённого интеграла:

$p\left(0\right)=0.$$p\left(0\right)=0.$ 

В силу формулы Лейбница:

$\frac{dp}{dx}=f\left(x\right)+f\left(-<!--\; -\; -->x\right).$${\frac {dp}{dx}}=f\left(x\right)+f\left(-x\right).$ 

Рассмотрим обратную функцию (квантиль) распределения случайной величины $\left|X\right|$$\left\vert X\right\vert$ :

$x=q\left(p\right).$$x=q\left(p\right).$ 

В силу теоремы о производной обратной функции:

$q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p\right)=\frac{dx}{dp}={\left[\frac{dp}{dx}\right]}^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{f\left(x\right)+f\left(-<!--\; -\; -->x\right)}.$$q^{\prime }\left(p\right)={\frac {dx}{dp}}=\left[{\frac {dp}{dx}}\right]^{-1}={\frac {1}{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}}.$ 

Заметим, что с ростом $p$$p$ возрастает и $x$$x$ , в силу унимодальности с ростом по модулю $x$$x$ функция $f\left(x\right)$$f\left(x\right)$ не возрастает, значит с ростом $x$$x$ функция $q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p\right)$$q^{\prime }\left(p\right)$ не убывает.

Линеаризация функции $q\left(p\right)$$q\left(p\right)$ Править

Выберем произвольную точку $q_0=q\left(p_0\right)$$q_{0}=q\left(p_{0}\right)$  и линеаризуем $q\left(p\right)$$q\left(p\right)$  точке $p_0$$p_{0}$ , то есть рассмотрим уравнение касательной прямой к этой функции в данной точке:

$L\left(p\right)=q\left(p_0\right)+q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)\left(p-<!--\; -\; -->p_0\right)=q_0+q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)\left(p-<!--\; -\; -->p_0\right).$$L\left(p\right)=q\left(p_{0}\right)+q^{\prime }\left(p_{0}\right)\left(p-p_{0}\right)=q_{0}+q^{\prime }\left(p_{0}\right)\left(p-p_{0}\right).$ 

Данное уравнение можно переписать следующим образом:

$L\left(p\right)=q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)\left(p-<!--\; -\; -->p_1\right),$$L\left(p\right)=q^{\prime }\left(p_{0}\right)\left(p-p_{1}\right),$ 

где

$p_1=p_0-<!--\; -\; -->\frac{q_0}{q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)}=p_0\left(1-<!--\; -\; -->\frac{q_0}{p_0\cdot <!--\; \cdot \; -->q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)}\right)=g\cdot <!--\; \cdot \; -->p_0.$$p_{1}=p_{0}-{\frac {q_{0}}{q^{\prime }\left(p_{0}\right)}}=p_{0}\left(1-{\frac {q_{0}}{p_{0}\cdot q^{\prime }\left(p_{0}\right)}}\right)=g\cdot p_{0}.$ 

Поскольку величины $p_0$$p_{0}$ , $q_0$$q_{0}$ и $q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)$$q^{\prime }\left(p_{0}\right)$ являются неотрицательными, то

$0\le <!--\; \le \; -->p_1\le <!--\; \le \; -->p_0,$$0\leq p_{1}\leq p_{0},$ 

а значит

$0\le <!--\; \le \; -->g\le <!--\; \le \; -->1.$$0\leq g\leq 1.$ 

Так как $q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p\right)$$q^{\prime }\left(p\right)$  не убывает с ростом $p$$p$ , а $L^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p\right)=q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)=\mathrm{const},$$L^{\prime }\left(p\right)=q^{\prime }\left(p_{0}\right)=\operatorname {const} ,$ то разность $q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p\right)-<!--\; -\; -->L^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p\right)$$q^{\prime }\left(p\right)-L^{\prime }\left(p\right)$  имеет тот же знак, что $p-<!--\; -\; -->p_0$$p-p_{0}$ . Из этого следует, что величина $q\left(p\right)-<!--\; -\; -->L\left(p\right)$$q\left(p\right)-L\left(p\right)$  всегда является неотрицательной, а следовательно:

$q\left(p\right)\ge <!--\; \ge \; -->L\left(p\right).$$q\left(p\right)\geq L\left(p\right).$ 

Поскольку $q\left(p\right)\ge <!--\; \ge \; -->0$$q\left(p\right)\geq 0$  то из $L\left(p\right)\ge <!--\; \ge \; -->0$$L\left(p\right)\geq 0$  (то есть из $p\ge <!--\; \ge \; -->p_1$$p\geq p_{1}$ ) следует

$L^2\left(p\right)\le <!--\; \le \; -->q^2\left(p\right)$$L^{2}\left(p\right)\leq q^{2}\left(p\right)$ .

Получение оценкиПравить

Проинтегрируем последнее неравенство в пределах от $p_1$$p_{1}$ до $1$$1$ :

${\int <!--\; \int \; -->}_{p_1}^1{L}^2\left(p\right)dp\le <!--\; \le \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{p_1}^1{q}^2\left(p\right)dp\le <!--\; \le \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^1{q}^2\left(p\right)dp={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->f\left(x\right)dx.$$\int _{p_{1}}^{1}L^{2}\left(p\right)dp\leq \int _{p_{1}}^{1}q^{2}\left(p\right)dp\leq \int _{0}^{1}q^{2}\left(p\right)dp=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}\cdot f\left(x\right)dx.$ 

Последнее выражение обозначим как ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2$$\tau ^{2}$ :

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->f\left(x\right)dx.$$\tau ^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}\cdot f\left(x\right)dx.$ 

Данная величина есть математическое ожидание квадрата случайной величины $X$$X$ . По свойствам дисперсии:

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2,$$\tau ^{2}=\mu ^{2}+\sigma ^{2},$ 

где ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$$\sigma ^{2}$ — дисперсия случайной величины $X$$X$ , $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — её математическое ожидание.

Вычислим теперь интеграл в левой части последнего неравенства:

${\int <!--\; \int \; -->}_{p_1}^1{L}^2\left(p\right)dp={\int <!--\; \int \; -->}_{p_1}^1{\left[q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)\right]}^2{\left(p-<!--\; -\; -->p_1\right)}^{2}dp={\left[q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)\right]}^2{\frac{{\left(p-<!--\; -\; -->p_1\right)}^3}{3}|}_{p_1}^1={\left[q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)\right]}^2\frac{{\left(1-<!--\; -\; -->p_1\right)}^3}{3}\le <!--\; \le \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2$$\int _{p_{1}}^{1}L^{2}\left(p\right)dp=\int _{p_{1}}^{1}\left[q^{\prime }\left(p_{0}\right)\right]^{2}\left(p-p_{1}\right)^{2}dp=\left[q^{\prime }\left(p_{0}\right)\right]^{2}\left.{\frac {\left(p-p_{1}\right)^{3}}{3}}\right|_{p_{1}}^{1}=\left[q^{\prime }\left(p_{0}\right)\right]^{2}{\frac {\left(1-p_{1}\right)^{3}}{3}}\leq \tau ^{2}$ 

$p_1=p_0-<!--\; -\; -->\frac{q_0}{q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)}.$$p_{1}=p_{0}-{\frac {q_{0}}{q^{\prime }\left(p_{0}\right)}}.$ 

$p_0-<!--\; -\; -->p_1=\frac{q_0}{q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)}$$p_{0}-p_{1}={\frac {q_{0}}{q^{\prime }\left(p_{0}\right)}}$ 

$q^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(p_0\right)=\frac{q_0}{p_0-<!--\; -\; -->p_1}$$q^{\prime }\left(p_{0}\right)={\frac {q_{0}}{p_{0}-p_{1}}}$ 

${\left[\frac{q_0}{p_0-<!--\; -\; -->p_1}\right]}^2\frac{{\left(1-<!--\; -\; -->p_1\right)}^3}{3}\le <!--\; \le \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2$$\left[{\frac {q_{0}}{p_{0}-p_{1}}}\right]^{2}{\frac {\left(1-p_{1}\right)^{3}}{3}}\leq \tau ^{2}$ 

Преобразуем это неравенство к виду

$\frac{q_0^2}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}\le <!--\; \le \; -->\frac{3{\left(p_0-<!--\; -\; -->p_1\right)}^2}{{\left(1-<!--\; -\; -->p_1\right)}^3}=\frac{3{\left(p_0-<!--\; -\; -->g{p}_0\right)}^2}{{\left(1-<!--\; -\; -->g{p}_0\right)}^3}=\frac{3p_0^2{\left(1-<!--\; -\; -->g\right)}^2}{{\left(1-<!--\; -\; -->g{p}_0\right)}^3}.$${\frac {q_{0}^{2}}{\tau ^{2}}}\leq {\frac {3\left(p_{0}-p_{1}\right)^{2}}{\left(1-p_{1}\right)^{3}}}={\frac {3\left(p_{0}-gp_{0}\right)^{2}}{\left(1-gp_{0}\right)^{3}}}={\frac {3p_{0}^{2}\left(1-g\right)^{2}}{\left(1-gp_{0}\right)^{3}}}.$ 

Исследование верхней границыПравить

Исследуем верхнюю границу на экстремальные значения (в зависимости от значения $g$$g$ ). Начнём с нахождения корней производной:

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial g}}\left[{\frac {3p_{0}^{2}\left(1-g\right)^{2}}{\left(1-gp_{0}\right)^{3}}}\right]=\\&=3p_{0}^{2}\cdot {\frac {2\left(1-g\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(1-gp_{0}\right)^{3}-\left(1-g\right)^{2}\cdot 3\left(1-gp_{0}\right)^{2}\cdot \left(-p_{0}\right)}{\left(1-gp_{0}\right)^{6}}}=\\&={\frac {3p_{0}^{2}\left(1-g\right)\left(1-gp_{0}\right)^{2}\left[-2\left(1-gp_{0}\right)+3\left(1-g\right)p_{0}\right]}{\left(1-gp_{0}\right)^{6}}}=\\&={\frac {3p_{0}^{2}\left(1-g\right)}{\left(1-gp_{0}\right)^{4}}}\left[-2+2gp_{0}+3p_{0}-3gp_{0}\right]=\\&=-{\frac {3p_{0}^{2}\left(1-g\right)}{\left(1-gp_{0}\right)^{4}}}\left[2-3p_{0}+gp_{0}\right]\\\end{aligned}}$ 

Множитель перед квадратными скобками всегда отрицателен. Определим, когда выражения в квадратных скобках обращается в нуль:

$2-<!--\; -\; -->3p_0+g_0\cdot <!--\; \cdot \; -->p_0=0.$$2-3p_{0}+g_{0}\cdot p_{0}=0.$ 

Решая данное уравнение, получим:

$g_0\cdot <!--\; \cdot \; -->p_0=3p_0-<!--\; -\; -->2.$$g_{0}\cdot p_{0}=3p_{0}-2.$ 

$g_0=3-<!--\; -\; -->\frac{2}{p_0}.$$g_{0}=3-{\frac {2}{p_{0}}}.$ 

Величина $g$$g$  также должно удовлетворять условию $0\le <!--\; \le \; -->g\le <!--\; \le \; -->1$$0\leq g\leq 1$  :

$0\le <!--\; \le \; -->3-<!--\; -\; -->\frac{2}{p_0}\le <!--\; \le \; -->1$$0\leq 3-{\frac {2}{p_{0}}}\leq 1$ 

Решая данное неравенство, получим:

$-<!--\; -\; -->3\le <!--\; \le \; -->-<!--\; -\; -->\frac{2}{p_0}\le <!--\; \le \; -->-<!--\; -\; -->2$$-3\leq -{\frac {2}{p_{0}}}\leq -2$ 

$2\le <!--\; \le \; -->\frac{2}{p_0}\le <!--\; \le \; -->3$$2\leq {\frac {2}{p_{0}}}\leq 3$ 

$\frac{1}{3}\le <!--\; \le \; -->\frac{p_0}{2}\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{2}$${\frac {1}{3}}\leq {\frac {p_{0}}{2}}\leq {\frac {1}{2}}$ 

$\frac{2}{3}\le <!--\; \le \; -->p_0\le <!--\; \le \; -->1.$${\frac {2}{3}}\leq p_{0}\leq 1.$ 

Правое неравенство не даёт дополнительной информации. Левое же говорит, что корень будет принадлежать $\left[0;1\right]$$\left[0;1\right]$  только при $p_0\ge <!--\; \ge \; -->\frac{2}{3}.$$p_{0}\geq {\frac {2}{3}}.$ 

Рассмотрим сначала случай $p_0\le <!--\; \le \; -->\frac{2}{3}$$p_{0}\leq {\frac {2}{3}}$ .

В этом случае всегда

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}g}\left[\frac{3p_0^2{\left(1-<!--\; -\; -->g\right)}^2}{{\left(1-<!--\; -\; -->g{p}_0\right)}^3}\right]\le <!--\; \le \; -->0,$${\frac {\partial }{\partial g}}\left[{\frac {3p_{0}^{2}\left(1-g\right)^{2}}{\left(1-gp_{0}\right)^{3}}}\right]\leq 0,$ 

а следовательно максимум выражения в квадратных скобках достигается при $g=0$$g=0$ :

$\frac{q_0^2}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}\le <!--\; \le \; -->3p_0^2$${\frac {q_{0}^{2}}{\tau ^{2}}}\leq 3p_{0}^{2}$ 

или

$p_0\le <!--\; \le \; -->\frac{q_0}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\sqrt{3}}.$$p_{0}\leq {\frac {q_{0}}{\tau {\sqrt {3}}}}.$ 

Если же $p_0>\frac{2}{3}$$p_{0}>{\frac {2}{3}}$ , то максимум будет в точке $g_0=3-<!--\; -\; -->\frac{2}{p_0}=\frac{3p_0-<!--\; -\; -->2}{p_0}.$$g_{0}=3-{\frac {2}{p_{0}}}={\frac {3p_{0}-2}{p_{0}}}.$  Вычислим необходимые нам величины:

$1-<!--\; -\; -->g_0=1-<!--\; -\; -->3+\frac{2}{p_0}=\frac{2}{p_0}-<!--\; -\; -->2=\frac{2\left(1-<!--\; -\; -->p_0\right)}{p_0}$$1-g_{0}=1-3+{\frac {2}{p_{0}}}={\frac {2}{p_{0}}}-2={\frac {2\left(1-p_{0}\right)}{p_{0}}}$ 

и

$1-<!--\; -\; -->g_0{p}_0=1-<!--\; -\; -->\left(3p_0-<!--\; -\; -->2\right)=3\left(1-<!--\; -\; -->p_0\right).$$1-g_{0}p_{0}=1-\left(3p_{0}-2\right)=3\left(1-p_{0}\right).$ 

Подставляя эти выражения в исследуемое неравенство, получим:

$\frac{q_0^2}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}\le <!--\; \le \; -->\frac{3p_0^2{\left(1-<!--\; -\; -->g\right)}^2}{{\left(1-<!--\; -\; -->g{p}_0\right)}^3}=\frac{3p_0^2}{3^3{\left(1-<!--\; -\; -->p_0\right)}^3}\frac{2^2{\left(1-<!--\; -\; -->p_0\right)}^2}{p_0^2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2\frac{1}{1-<!--\; -\; -->p_0}$${\frac {q_{0}^{2}}{\tau ^{2}}}\leq {\frac {3p_{0}^{2}\left(1-g\right)^{2}}{\left(1-gp_{0}\right)^{3}}}={\frac {3p_{0}^{2}}{3^{3}\left(1-p_{0}\right)^{3}}}{\frac {2^{2}\left(1-p_{0}\right)^{2}}{p_{0}^{2}}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}{\frac {1}{1-p_{0}}}$ 

или

$1-<!--\; -\; -->p_0\le <!--\; \le \; -->{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}{q_0^2}.$$1-p_{0}\leq \left({\frac {2}{3}}\right)^{2}{\frac {\tau ^{2}}{q_{0}^{2}}}.$ 

Объединим полученные неравенства:

${\frac {q_{0}^{2}}{\tau ^{2}}}\leq {\begin{cases}3p_{0}^{2},&p_{0}\leq {\frac {2}{3}}\\{\frac {4}{9}}{\frac {1}{\left(1-p_{0}\right)}},&p_{0}>{\frac {2}{3}}\end{cases}}$ 

Извлекая квадратный корень, окончательно получим:

${\frac {q_{0}}{\tau }}\leq {\begin{cases}{\sqrt {3}}p_{0},&p_{0}\leq {\frac {2}{3}}\\{\frac {2}{3}}{\frac {1}{\sqrt {1-p_{0}}}},&p_{0}>{\frac {2}{3}}\end{cases}}$ 

Обращение неравенствПравить

Если $p_0\le <!--\; \le \; -->\frac{2}{3}$$p_{0}\leq {\frac {2}{3}}$ , то

$\frac{q_0^2}{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}\le <!--\; \le \; -->3p_0^2\le <!--\; \le \; -->3{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{3}.$${\frac {q_{0}^{2}}{\tau ^{2}}}\leq 3p_{0}^{2}\leq 3\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}={\frac {4}{3}}.$ 

Откуда получаем

$q_0\le <!--\; \le \; -->\frac{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\sqrt{3}}.$$q_{0}\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.$ 

Это позволяет получить следующее неравенство:

$1-p_{0}={\begin{cases}1-{\frac {q_{0}}{{\sqrt {3}}\tau }},&q_{0}\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\{\frac {4}{9}}{\frac {\tau ^{2}}{q_{0}^{2}}},&q_{0}\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\end{cases}}$ 

Обозначая $p_0=p$$p_{0}=p$  и $q_0=x$$q_{0}=x$ , получим:

$\Pr \left\{\left|X\right|>x\right\}={\begin{cases}1-{\frac {x}{{\sqrt {3}}\tau }},&x\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\{\frac {4}{9}}{\frac {\tau ^{2}}{x^{2}}},&x\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\end{cases}}.$ 

Завершение доказательстваПравить

Выше мы предполагали, что мода случайной величины $X$$X$  равна нулю. В случае произвольной моды $m$$m$ , нужно приведённые выше рассуждения применить к случайной величине $X-<!--\; -\; -->m$$X-m$ , мода которой, очевидно, равна нулю. Тогда последняя формула примет вид:

$\Pr \left\{\left|X-m\right|>x\right\}={\begin{cases}1-{\frac {x}{{\sqrt {3}}\tau }},&x\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\{\frac {4}{9}}{\frac {\tau ^{2}}{x^{2}}},&x\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\end{cases}}.$ 

Величина ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2$$\tau ^{2}$ перейдём, по свойствам математического ожидания и дисперсии, в

${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2={\left(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->m\right)}^2+{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2.$$\tau ^{2}=\left(\mu -m\right)^{2}+\sigma ^{2}.$ 

Таким образом, теорема полностью доказана.

См. такжеПравить

• Неравенство Высочанского — Петунина, похожий результат, но интервал строится с центром в среднем значении, а не в моде.
• Неравенство Чебышёва, интервал строится с центром в среднем значении и отсутствует условие одномодальности.

СсылкиПравить

• Gauss, C. F. Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior (англ.) // Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores : journal. — 1823. — Vol. 5.
• Gauss C. F. Gauss’s work 1803-1826) on the Theory of Least Squares / English translation by H. F. Trotter. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957. — С. 10—13. Архивная копия от 24 декабря 2016 на Wayback Machine
• Upton, Graham; Cook, Ian. Gauss inequality // A Dictionary of Statistics (англ.). — Oxford University Press, 2008.
• Sellke, T.M.; Sellke, S.H. Chebyshev inequalities for unimodal distributions (англ.) // American Statistician  (англ.) (рус. : journal. — American Statistical Association, 1997. — Vol. 51, no. 1. — P. 34—40. — doi:10.2307/2684690. — JSTOR 2684690.
• Pukelsheim, F. The Three Sigma Rule (англ.) // American Statistician  (англ.) (рус. : journal. — American Statistical Association, 1994. — Vol. 48, no. 2. — P. 88—91. — doi:10.2307/2684253. — JSTOR 2684253.