Производная обратной функции

Пусть $y=f(x)$$y=f(x)$ — функция от аргумента $x$$x$ в некотором интервале $(a,b)$$(a,b)$. Если в уравнении $y=f(x)$$y=f(x)$ $y$$y$ считать аргументом, а $x$$x$ — функцией, то возникает новая функция $x=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y),$$x=\phi (y),$ где $f[\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)]\equiv <!--\; \equiv \; -->y,$$f[\phi (y)]\equiv y,$ — функция, обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)Править

Для дифференцируемой функции $y(x)$$y(x)$  с производной $y_x^{\prime }(x)$$y'_{x}(x)$ , отличной от нуля, производная $x_y^{\prime }(y)$$x'_{y}(y)$  обратной функции $x(y)$$x(y)$  равна обратной величине производной данной функции в точке $x(y)$$x(y)$ , то есть

$x_y^{\prime }(y)=\frac{1}{y_x^{\prime }(x(y))}$$x'_{y}(y)={\frac {1}{y'_{x}(x(y))}}$ 

Доказательство

Пусть $y=f(x)$$y=f(x)$  — дифференцируемая функция, $y_x^{\prime }=f^{\prime }(x)\ne <!--\; \ne \; -->0$$y'_{x}=f'(x)\neq 0$ .
Пусть $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\ne <!--\; \ne \; -->0$$\Delta y\neq 0$  — приращение независимой переменной $y$$y$  и $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x$$\Delta x$  — соответствующее приращение обратной функции $x=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)$$x=\phi (y)$ .

Напишем тождество

$\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}=1:\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}$${\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 

Переходя в этом равенстве к пределу при $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\to <!--\; \to \; -->0$$\Delta y\to 0$ , которое влечет за собой стремление $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x$$\Delta x$  к нулю ($\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0$$\Delta x\to 0$ ), получим:

$\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}=1:\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}y}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}\iff <!--\; \iff \; -->x_y^{\prime }=\frac{1}{y_x^{\prime }}$$\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\Leftrightarrow x'_{y}={\frac {1}{y'_{x}}}$ , где $x_y^{\prime }$$x'_{y}$  — производная обратной функции.

Замечание

Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}$ 

ПримерыПравить

• $y=\arcsin <!--\; \; -->x\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x=\sin <!--\; \; -->y,$$y=\arcsin {x}\Rightarrow x=\sin {y},$ 

$y_x^{\prime }=(\arcsin <!--\; \; -->x{)}^{\prime }=\frac{1}{x_y^{\prime }}=\frac{1}{(\sin <!--\; \; -->y{)}^{\prime }}=\frac{1}{\cos <!--\; \; -->y}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->y}}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->(\arcsin <!--\; \; -->x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}.$$y'_{x}=(\arcsin {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(\sin {y})'}}={\frac {1}{\cos {y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{y}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(\arcsin {x})}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$ 

• $y=\ln <!--\; \; -->x\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x=e^y,$$y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y},$ 

$y_x^{\prime }=(\ln <!--\; \; -->x{)}^{\prime }=\frac{1}{x_y^{\prime }}=\frac{1}{(e^y{)}^{\prime }}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}.$$y'_{x}=(\ln {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}.$ 

См. такжеПравить

• Производная функции
• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная

ЛитератураПравить

• В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0