Конформно-евклидова модель

Конформно-евклидова модель или модель Пуанкаре́ — модель пространства Лобачевского.

Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками.

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Конформно-евклидова модель примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами, то есть эта модель конформна в отличие от проективной модели, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

ИсторияПравить

Эта модель была предложена Эудженио Бельтрами, наряду с проективной моделью и моделью псевдосферы. Метрика в конформно-евклидовой модели также в знаменитой лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», но связь с геометрией Лобачевского обнаружена именно Бельтрами. Впоследствии Анри Пуанкаре обнаружил связи этой модели с задачами теории функций комплексного переменного, что дало одно из первых серьёзных приложений геометрии Лобачевского.

Модели в круге и в шареПравить

 

Конформно-евклидова модель в круге.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей $(a,b,b^{\prime })$$(a,\;b,\;b')$ , перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой $ds$$ds$  плоскости Лобачевского в Конформно-евклидовой модели в единичном круге является:

$d{s}^2=\frac{4}{(1-<!--\; -\; -->(x^2+y^2){)}^2}(d{x}^2+d{y}^2),$$ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}(dx^{2}+dy^{2}),$ 

где $x$$x$  и $y$$y$  — оси абсцисс и ординат, соответственно.

Аналогично, для конформно-евклидовой модели в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

РасстоянияПравить

В комплексных координатах на единичном круге расстояния можно вычислить с помощью следующей формулы:

$\mathrm{t}\mathrm{h}<!--\; \; -->[\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->d_h(z,w)]=\left|\frac{z-<!--\; -\; -->w}{1-<!--\; -\; -->z\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{w}}\right|.$$\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {z-w}{1-z\cdot {\bar {w}}}}\right|.$ 

Расстояние можно выразить через двойное отношение. Если на дуге $w_1$$w_{1}$ , $z_1$$z_{1}$  точки расположены в следующем порядке: $w_1$$w_{1}$ , $w$$w$ , $z$$z$ , $z_1$$z_{1}$  то расстояние между точками $w$$w$  и $z$$z$ , в геометрии Лобачевского равняется

$d_h(z,w)=\ln <!--\; \; -->\left(\frac{z-<!--\; -\; -->w_1}{z-<!--\; -\; -->z_1}:\frac{w-<!--\; -\; -->w_1}{w-<!--\; -\; -->z_1}\right)$$d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}}{w-z_{1}}}\right)$ .

Модели на полуплоскости и в полупространствеПравить

В модели полуплоскости Пуанкаре за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Метрика $ds$$ds$  плоскости Лобачевского в конформно-евклидовой модели в верхней полуплоскости имеет вид: $d{s}^2=\frac{1}{v^2}(d{u}^2+d{v}^2)$$ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$ , где $u$$u$  и $v$$v$  — прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.

Соответственно, в конформно-евклидовой модели в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

См. такжеПравить

• Теорема Пика — инвариантная форма леммы Шварца, использующая расстояния в конформно-евклидовой модели.

ЛитератураПравить

• Черников Н. А. Преобразование Боголюбова и планиметрия Лобачевского. Раздел 4, сравнение двух моделей Пуанкаре.  (недоступная ссылка с 18-05-2013 [3541 день] — история)
• Самаров К., Уроев В. «Модель Пуанкаре». — Журнал «Квант». — 1984 год. — номер 6.