Джойн

Джойн (от англ. join — «соединение») — конструкция в топологии, по двум топологическим пространствам дающая третье. Интуитивная интерпретация джойна — это множество всех отрезков, начинающихся в любой точке первого множества и заканчивающихся в любой точке второго.

Реализация джойна двух отрезков (синего и зелёного) как подмножества в трёхмерном пространстве. Джойном является весь трёхмерный многогранник.

ОпределениеПравить

Для двух топологических пространств $A$$A$  и $B$$B$  джойн $A\ast <!--\; \ast \; -->B$$A\ast B$  определяется как факторпространство

$(A\times <!--\; \times \; -->B\times <!--\; \times \; -->[0,1])/\sim <!--\; \sim \; -->,$$(A\times B\times [0,1])/\sim ,$ 

по минимальному отношению эквивалентности «$\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ » такому, что

$(a,b_1,0)\sim <!--\; \sim \; -->(a,b_2,0)\text{при}a\in <!--\; \in \; -->A\text{и}{b}_1,b_2\in <!--\; \in \; -->B,$$(a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{при}}\quad a\in A\quad {\mbox{и}}\quad b_{1},b_{2}\in B,$ 

$(a_1,b,1)\sim <!--\; \sim \; -->(a_2,b,1)\text{при}{a}_1,a_2\in <!--\; \in \; -->A\text{и}b\in <!--\; \in \; -->B.$$(a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{при}}\quad a_{1},a_{2}\in A\quad {\mbox{и}}\quad b\in B.$ 

Таким образом, отображение из $(A\times <!--\; \times \; -->B\times <!--\; \times \; -->[0,1])/\sim <!--\; \sim \; -->,$$(A\times B\times [0,1])/\sim ,$  в джойн стягивает $A\times <!--\; \times \; -->B\times <!--\; \times \; -->\{0\}$$A\times B\times \{0\}$  на $A$$A$  и $A\times <!--\; \times \; -->B\times <!--\; \times \; -->\{1\}$$A\times B\times \{1\}$  на $B$$B$ .

ПримерыПравить

• Джойн пространства $A$$A$  и точки $pt$$pt$  называется конусом над $A$$A$  и обозначается $C(A)$$C(A)$ .
• Джойн пространства $A$$A$  и нуль-мерной сферы ${\mathbb{S}}^0$$\mathbb {S} ^{0}$  (то есть дискретного пространства из двух точек) называется надстройкой над $A$$A$  и обозначается $\mathbb{S}(A)$$\mathbb {S} (A)$ .
• Джойн двух сфер ${\mathbb{S}}^m$$\mathbb {S} ^{m}$  и ${\mathbb{S}}^n$${\mathbb {S}}^{n}$  — это сфера ${\mathbb{S}}^{m+n+1}$$\mathbb {S} ^{m+n+1}$ .

СвойстваПравить

• Конус над джойном двух пространств $A$$A$  и $B$$B$  гомеоморфен произведению их конусов. Иначе говоря,

  $C(A\ast <!--\; \ast \; -->B)\cong <!--\; \cong \; -->C(A)\times <!--\; \times \; -->C(B).$$C(A\ast B)\cong C(A)\times C(B).$ 

ЛитератураПравить

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : Фазис, 1997. — 132 с.
• Хатчер А. Алгебраическая топология = Algebraic Topology. — М. : МЦНМО, 2011. — 688 с.