Приведённые гомологии

Приведённые гомологии — незначительная модификация теории гомологий, позволяющая формулировать некоторые утверждения алгебраической топологии, как например двойственность Александера, без исключительных случаев.

Приведённые гомологии и когомологии обычно обозначающийся волной. При этом отличие от обычных гомологий проявляется только в нулевой размерности; то есть $H_0(X)={\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{H}}_0(X)\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbb{Z}$$H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z}$ и $H_n(X)={\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{H}}_n(X)$$H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)$ для всех положительных n.

Цепной комплексПравить

В обычном определении гомологии пространства, строится по цепному комплексу

$\cdots <!--\; \cdots \; -->\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{n+1}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{C}_n\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_n}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{C}_{n-<!--\; -\; -->1}\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}\cdots <!--\; \cdots \; -->\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_2}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{C}_1\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{C}_0\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_0}{⟶<!--\; ⟶\; -->}0$$\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0$ 

и определяются как факторы $H_n(X)=\ker <!--\; \; -->({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_n)/\mathrm{i}\mathrm{m}({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{n+1})$$H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})$ 

Чтобы определить приведённые гомологии, следует воспользоваться тем же определением для дополненного цепного комплекса

$\cdots <!--\; \cdots \; -->\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{n+1}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{C}_n\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_n}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{C}_{n-<!--\; -\; -->1}\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}\cdots <!--\; \cdots \; -->\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_2}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{C}_1\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_1}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{C}_0\stackrel{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}\mathbb{Z}\to <!--\; \to \; -->0$$\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0$ 

ЛитератураПравить

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989