Моноид (теория категорий)

В теории категорий моноид $(M,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})$$(M,\mu ,\eta )$ в моноидальной категории $(\mathbf{C},\otimes <!--\; \otimes \; -->,I)$$(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$ — это объект M вместе с двумя морфизмами

• $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}:M\otimes <!--\; \otimes \; -->M\to <!--\; \to \; -->M$$\mu :M\otimes M\to M$ (называемый умножением),
• и $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}:I\to <!--\; \to \; -->M$$\eta :I\to M$ (называемый единицей),

такими что следующая пятиугольная диаграмма

а также диаграмма

коммутативны. Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория: I — единица категории, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$, $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ и $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу.

Двойственно, комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории ${\mathbf{C}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$$\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }$.

Пусть категория C имеет также преобразование симметрии $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$. Тогда моноид $M$$M$ называется симметричным, если

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu \circ \gamma =\mu$.

ПримерыПравить

• Моноида в категории Set (рассматриваемой, как моноидальная категория относительно прямого произведения) — это моноид в общеалгебраическом смысле.
• Моноид в категории абелевых групп (с тензорным произведением как $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ -модулей) — это кольцо.
• Из теоремы Экманна — Хилтона^[en] следует, что моноид в категории колец (с единицей) — это коммутативное кольцо.
• Моноид в категории модулей над коммутативным кольцом R — это R-алгебра.
• Моноид в категории векторных пространств над полем k — k-алгебра, соответственно, комоноид — k-коалгебра.
• Для любой категории C, категория [C,C] эндофункторов (функторов в себя) [C,C] имеет моноидальную структуру, индуцированную операцией композиции. Моноид в категории эндофункторов [C,C] — это монада в C.

Категория моноидовПравить

Пусть $(M,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})$$(M,\mu ,\eta )$  и $(M^{\prime },{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\prime },{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\prime })$$(M',\mu ',\eta ')$  — два моноида в моноидальной категории C, морфизм $f:M\to <!--\; \to \; -->M^{\prime }$$f:M\to M'$  является морфизмом моноидов, если

• $f\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{\prime }\circ <!--\; \circ \; -->(f\otimes <!--\; \otimes \; -->f)$$f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)$ ,
• $f\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}={\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^{\prime }$$f\circ \eta =\eta '$ .

Категория моноидов в C с морфизмами, определёнными выше, записывается как ${\mathbf{M}\mathbf{o}\mathbf{n}}_{\mathbf{C}}$$\mathbf {Mon} _{\mathbf {C} }$ .

ЛитератураПравить

• Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
• Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin — ISBN 3-11-015248-7