Коалгебра

Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих алгебрах и групповых схемах^[en]). Существует также F-коалгебра^[en], имеющая важные приложения в информатике.

ОпределениеПравить

Коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K-линейными отображениями $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}:C\to <!--\; \to \; -->C{\otimes <!--\; \otimes \; -->}_{K}C$$\Delta : C \to C \otimes_K C$  и $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}:C\to <!--\; \to \; -->K$$\epsilon : C \to K$ , такими что

1. $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_C\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{i}\mathrm{d}}_C)\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$(\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$ 
2. $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_C\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_C=(\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{i}\mathrm{d}}_C)\circ <!--\; \circ \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$(\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$ .

(Здесь $\otimes <!--\; \otimes \; -->$$\otimes$  и ${\otimes <!--\; \otimes \; -->}_K$$\otimes_K$  означает тензорное произведение над K.)

Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют:

 

На первой диаграмме мы отождествляем $C\otimes <!--\; \otimes \; -->(C\otimes <!--\; \otimes \; -->C)$$C\otimes (C\otimes C)$  с $(C\otimes <!--\; \otimes \; -->C)\otimes <!--\; \otimes \; -->C$$(C \otimes C)\otimes C$  как два естественно изоморфных пространства. Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства $C$$C$  , $C\otimes <!--\; \otimes \; -->K$$C\otimes K$  и $K\otimes <!--\; \otimes \; -->C$$K\otimes C$ .

Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением) в C, а ε является коединицей C.

ПримерПравить

Рассмотрим множество S и образуем векторное пространство над K с базисом S. Элементами этого векторного пространства являются такие функции из S в K которые отображают все элементы S, кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент s из S с функцией которая отображает s в 1 и все остальные элементы S в 0. Мы будем обозначать это пространство как C. Мы определим

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(s)=s\otimes <!--\; \otimes \; -->s\text{ and }\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}(s)=1\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}s\in <!--\; \in \; -->S.$$\Delta(s) = s\otimes s \quad \mbox{ and } \quad \epsilon(s)=1 \quad \forall s\in S.$ 

Δ и ε могут быть единственным образом продолжены на всё C по линейности. Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и коединицей ε (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).

Конечномерный случайПравить

В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще же говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.

Это следует из того, что, для конечномерных пространств, (A ⊗ A)* и A* ⊗ A* изоморфны.

Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами.

См. такжеПравить

• Алгебра Хопфа
• Косвободная коалгебра

ЛитератураПравить

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras, vol. 235 (1st ed.), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
• Yokonuma, Takeo (1992), Tensor spaces and exterior algebra, vol. 108, Translations of mathematical monographs, AMS Bookstore, ISBN 9780821845646 .
• Bourbaki, Nicolas. Algebra (неопр.). — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-19373-1.. Chapter III, section 11.

СсылкиПравить

• William Chin: A brief introduction to coalgebra representation theory Архивная копия от 24 октября 2004 на Wayback Machine