Симметричная моноидальная категория

В теории категорий симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой операция тензорного произведения «настолько коммутативна, насколько это возможно». В симметричной моноидальной категории для любых объектов выбран изоморфизм ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{A,B}:A\otimes <!--\; \otimes \; -->B\to <!--\; \to \; -->B\otimes <!--\; \otimes \; -->A$$\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$, причём все эти изоморфизмы вместе образуют естественное семейство.

Формальное определениеПравить

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой для любых двух объектов выбран изоморфизм ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{A,B}:A\otimes <!--\; \otimes \; -->B\to <!--\; \to \; -->B\otimes <!--\; \otimes \; -->A$$\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$ , причём ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{B,A}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{A,B}=Id$$\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}=Id$ , а также коммутирует следующая шестиугольная диаграмма:

 

ПримерыПравить

• Любая декартово замкнутая категория является симметричной замкнутой моноидальной. Это даёт такие примеры, как Set и Cat (категория множеств и категория малых категорий).
• Векторные пространства над фиксированным полем k с тензорным произведением образуют моноидальную категорию. Отображение $V\otimes <!--\; \otimes \; -->W\to <!--\; \to \; -->W\otimes <!--\; \otimes \; -->V$$V\otimes W\to W\otimes V$ , определенное на разложимых элементах вида $v\otimes <!--\; \otimes \; -->w$$v\otimes w$  и продолженное по линейности, очевидным образом задаёт на ней структуру симметричной моноидальной категории.

Моноидальные категории с заузливаниемПравить

Моноидальная категория с заузливанием — это обобщение симметричной моноидальной категории; для неё уже не требуется, что ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{B,A}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{A,B}=\text{Id}$$\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}$ . Однако вместо коммутативности одной шестиугольной диаграммы приходится требовать коммутативность двух:

В симметричном случае обе эти диаграммы также коммутируют, но коммутативность одной из них следует из коммутативности другой и свойства ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{B,A}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{A,B}=\text{Id}$$\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}$ .

Название «моноидальная категория с заузливанием» (англ. braided monoidal category) произошло от группы кос (англ. braid group). Действительно, эти понятия глубоко связаны между собой. Для моноидальной категории с заузливанием, так же как и для обычной моноидальной категории, верна теорема о когерентности, утверждающая, что любая диаграмма, на стрелках которой написаны композиции $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},e,\otimes <!--\; \otimes \; -->,\text{Id}$$\gamma ,\alpha ,\lambda ,\rho ,e,\otimes ,{\text{Id}}$  и обратных к ним, коммутативна. Более точно, она утверждает, что в моноидальной категории с заузливанием B любые два естественно изоморфных функтора из Bⁿ в B, построенные из применений $\otimes <!--\; \otimes \; -->$$\otimes$  к аргументам и скобок, естественно изоморфны единственным, каноническим образом. Каждой стрелке, на которой написано преобразование, составленное из указанных выше символов, можно сопоставить элемент группы кос (например, преобразованию $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  сопоставляется «перекрутка» двух нитей, легко видеть, что ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{B,A}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{A,B}\ne <!--\; \ne \; -->\text{Id}$$\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}\neq {\text{Id}}$ ). Оказывается, что два таких функтора естественно изоморфны, если им соответствует один и тот же элемент группы кос.

Симметричные моноидальные функторыПравить

Моноидальный функтор F между симметричными моноидальными категориями C и D называется симметричным, если соответствующее ему естественное преобразование $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  коммутирует с $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , то есть для любых A, B категории C коммутирует следующая диаграмма:

 

Симметричные моноидальные естественные преобразованияПравить

Моноидальное естественное преобразование между моноидальными функторами $(F,\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$(F,\Phi ,\phi )$  и $(G,\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})$$(G,\Gamma ,\gamma )$  между моноидальными категориями: $C\to <!--\; \to \; -->D$$C\to D$  — это естественное преобразование $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}:C\to <!--\; \to \; -->D$$\alpha :C\to D$ , такое что коммутируют следующие две диаграммы:

 

 

Для симметричных моноидальных естественных преобразований не требуется дополнительных условий, кроме того, что они действуют между симметричными моноидальными функторами.

Моноидальная эквивалентностьПравить

C и D — симметрично моноидально эквивалентные категории, если существуют симметричные моноидальные функторы $F:C\to <!--\; \to \; -->D$$F:C\to D$ , $G:D\to <!--\; \to \; -->C$$G:D\to C$  и симметричные моноидальные естественные изоморфизмы $FG\Leftarrow <!--\; \Leftarrow \; -->1_C$$FG\Leftarrow 1_{C}$  и $GF\Leftarrow <!--\; \Leftarrow \; -->1_D$$GF\Leftarrow 1_{D}$ .

Маклейн доказал теорему о том, что любая симметричная моноидальная категория моноидально (симметрично) эквивалентна строгой моноидальной (и симметричной) категории.

Также как определяется 2-категория малых категорий, можно определить 2-категории малых моноидальных категорий и малых симметричных моноидальных категорий, с соответствующими функторами и естественными преобразованиями.

Примечания и ссылкиПравить

• Kelly,G.M. «Basic Concepts of Enriched Category Theory», London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (C.U.P., 1982)
• Joyal, André; Street, Ross (1993). «Braided Tensor Categories». Advances in Mathematics 102, 20-78.
• John C. Baez, [http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2004/definitions.pdf Some De�nitions Everyone Should Know]
• Симметричные моноидальные категории на nLab^[en]