Модель авторегрессии и распределённого лага

Модель авторегрессии и распределённого лага (ADL-модель, англ. autoregressive distributed lags) — модель временного ряда, в которой текущие значения ряда зависят как от прошлых значений этого ряда, так и от текущих и прошлых значений других временных рядов. Модель $ADL(p,q)$$ADL(p,q)$ с одной экзогенной переменной имеет вид:

$y_t=a_0+\underset{i=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{y}_{t-<!--\; -\; -->i}+\underset{j=0}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_j{x}_{t-<!--\; -\; -->j}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$y_{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{p}a_{i}y_{t-i}+\sum _{j=0}^{q}b_{j}x_{t-j}+\varepsilon _{t}$

Модель $ADL(p,0)$$ADL(p,0)$ — это модель авторегрессии AR(p) (в общем случае, возможно с экзогенной переменной без лагов), а модель $ADL(0,q)$$ADL(0,q)$ — это модель распределённого лага $DL(q)$$DL(q)$.

Модель обобщается на случай нескольких экзогенных переменных $x$$x$. В этом случае возможно обозначение модели $ADL(p,q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_k)$$ADL(p,q_{1},q_{2},\dots ,q_{k})$, где $k$$k$ — количество экзогенных переменных, $q_i$$q_{i}$-количество лагов $i$$i$-ой переменной, входящих в модель. В общем случае, можно считать, что все экзогенные переменные включены в модель с одинаковым количеством лагов, а исключение какого-либо лага некоторых переменных означает лишь ограничение на модель. Поэтому иногда используют обозначение $ADL(p,q;k)$$ADL(p,q;k)$, $k$$k$ — количество экзогенных переменных, $q$$q$ — количество лагов. Наложение ограничений на коэффициенты этой модели приводит к тем или иным вариациям. В таком обозначении, классическая модель $ADL(p,q)$$ADL(p,q)$ будет обозначаться как $ADL(p,q;1)$$ADL(p,q;1)$.

На практике для оценки подобных моделей часто используют методологию Бокса-Дженкинса для оценки авторегрессии и специальные приёмы для упрощения оценки распределённого лага

Операторное представлениеПравить

С помощью лагового оператора $L:L{x}_t=x_{t-<!--\; -\; -->1}$$L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$  модели авторегрессии и распределённого лага можно записать следующим образом:

$y_t=a_0+(\underset{i=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{L}^i)y_t+(\underset{j=0}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_j{L}^j)x_t+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$y_{t}=a_{0}+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})y_{t}+(\sum _{j=0}^{q}b_{j}L^{j})x_{t}+\varepsilon _{t}$ 

Или в сокращённой форме:

$a(L)y_t=a_0+b(L)x_t+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t,a(L)=1-<!--\; -\; -->(\underset{i=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{L}^i),b(L)=(\underset{j=0}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_j{L}^j)$$a(L)y_{t}=a_{0}+b(L)x_{t}+\varepsilon _{t},~~a(L)=1-(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i}),~~b(L)=(\sum _{j=0}^{q}b_{j}L^{j})$ 

Если корни характеристического авторегрессионного полинома $a(z)$$a(z)$  лежат вне единичного круга (в комплексной плоскости), то ADL-модель можно представить в виде модели бесконечного распределённого лага:

$y_t=\frac{a_0}{a(L)}+\frac{b(L)}{a(L)}{x}_t+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$y_{t}={\frac {a_{0}}{a(L)}}+{\frac {b(L)}{a(L)}}x_{t}+\varepsilon _{t}$ 

Если в это выражение подставить вместо лагового оператора $L$$L$  значение 1, получим модель долгосрочной зависимости между переменными $y$$y$  и $x$$x$ :

$y_t^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\frac{a_0}{a(1)}+\frac{b(1)}{a(1)}{x}_t^{\ast <!--\; \ast \; -->}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t=\frac{a_0}{1-<!--\; -\; -->\underset{i=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i}+\frac{\underset{j=0}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_j}{1-<!--\; -\; -->\underset{i=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i}{x}_t^{\ast <!--\; \ast \; -->}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$y_{t}^{*}={\frac {a_{0}}{a(1)}}+{\frac {b(1)}{a(1)}}x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}={\frac {a_{0}}{1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}}}+{\frac {\sum _{j=0}^{q}b_{j}}{1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}}}x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}$ 

Коэффициент при экзогенной переменной называется долгосрочным мультипликатором. Содержательная интерпретация этого следующая. Модели распределённого лага (DL-модели) позволяют учесть запаздывающее влияние факторов (наряду с текущим). Коэффициенты DL-модели $b_j$$b_{j}$  называют импульсными мультипликаторами. Они показывают влияние запаздыванием на $j$$j$  периодов на эндогенную переменную. Однако в каждый момент времени оказывают влияние несколько лаговых значений фактора, поэтому в долгосрочной перспективе коэффициент влияния фактора (долгосрочный мультипликатор) равен сумме импульсных мультипликаторов. Добавление к модели распределённого лага авторегрессионной части позволяет учесть кроме прямого влияния и опосредованное — через влияние прошлых значений зависимой переменной на её же будущие значения. Знаменатель в формуле долгосрочного мультипликатора и учитывает авторегрессионное увеличение мультипликативного эффекта.

Исходя из наличия долгосрочной модели модель ADL можно представить в несколько ином виде — в ECM-представлении (англ. error correction model — модель коррекции ошибок):

$\mathrm{△<!--\; △\; -->}{y}_t=\underset{i=1}{\overset{p-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i\mathrm{△<!--\; △\; -->}{y}_{t-<!--\; -\; -->i}+\underset{j=0}{\overset{q-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_j\mathrm{△<!--\; △\; -->}{x}_{t-<!--\; -\; -->j}-<!--\; -\; -->a(1)(y_{t-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{a_0}{a(1)}-<!--\; -\; -->\frac{b(1)}{a(1)}{x}_{t-<!--\; -\; -->1})+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$\triangle y_{t}=\sum _{i=1}^{p-1}\alpha _{i}\triangle y_{t-i}+\sum _{j=0}^{q-1}\beta _{j}\triangle x_{t-j}-a(1)(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{a(1)}}-{\frac {b(1)}{a(1)}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}$ 

Выражение в скобках отражает отклонение от долгосрочной зависимости в предыдущий момент времени. Остальная часть уравнения отражает краткосрочную зависимость. Таким образом, в таком представлении видно, что краткосрочная динамика корректируется в зависимости от степени отклонения от долгосрочной.

ПримерПравить

Рассмотрим модель $ADL(1,1)$$ADL(1,1)$ :

$y_t=a_0+a_1{y}_{t-<!--\; -\; -->1}+b_0{x}_t+b_1{x}_{t-<!--\; -\; -->1}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t}$ 

ECM-представление данной модели имеет вид:

$\mathrm{△<!--\; △\; -->}{y}_t=b_0\mathrm{△<!--\; △\; -->}{x}_t+(1-<!--\; -\; -->a_1)(y_{t-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{a_0}{1-<!--\; -\; -->a_1}-<!--\; -\; -->\frac{b_0+b_1}{1-<!--\; -\; -->a_1}{x}_{t-<!--\; -\; -->1})+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$\triangle y_{t}=b_{0}\triangle x_{t}+(1-a_{1})(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{1-a_{1}}}-{\frac {b_{0}+b_{1}}{1-a_{1}}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}$ 

Таким образом краткосрочная зависимость выражается коэффициентом $b_0$$b_{0}$  реакции на изменение фактора по сравнению с прошлым периодом. Однако, такая реакция корректируется в зависимости от отклонения от долгосрочной зависимости между переменными. Долгосрочный мультипликатор в данном случае равен $(b_0+b_1)/(1-<!--\; -\; -->a_1)$$(b_{0}+b_{1})/(1-a_{1})$ 

См. такжеПравить

• Распределённый лаг
• Авторегрессионная модель