ARIMA

Не следует путать с Arima.

ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average, иногда модель Бокса — Дженкинса, методология Бокса — Дженкинса) — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов. Является расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые интегрированные или разностно-стационарные временные ряды). Модель $ARIMA(p,d,q)$$ARIMA(p,d,q)$ означает, что разности временного ряда порядка $d$$d$ подчиняются модели $ARMA(p,q)$$ARMA(p,q)$.

Формальное определение моделиПравить

Модель $ARIMA(p,d,q)$$ARIMA(p,d,q)$  для нестационарного временного ряда $X_t$$X_{t}$  имеет вид:

${\mathrm{△<!--\; △\; -->}}^d{X}_t=c+\underset{i=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{\mathrm{△<!--\; △\; -->}}^d{X}_{t-<!--\; -\; -->i}+\underset{j=1}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_j{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{t-<!--\; -\; -->j}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$\triangle ^{d}X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}a_{i}\triangle ^{d}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}b_{j}\varepsilon _{t-j}+\varepsilon _{t}$ 

где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$\varepsilon _{t}$  — стационарный временной ряд;

$c,a_i,b_j$$c,a_{i},b_{j}$  — параметры модели.

${\mathrm{△<!--\; △\; -->}}^d$$\triangle ^{d}$  — оператор разности временного ряда порядка d (последовательное взятие d раз разностей первого порядка — сначала от временного ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т. д.)

Также данная модель интерпретируется как $ARMA(p+d,q)$$ARMA(p+d,q)$ - модель с $d$$d$  единичными корнями. При $d=0$$d=0$  имеем обычные $ARMA$$ARMA$ -модели.

Операторное представлениеПравить

С помощью лагового оператора $L:L{x}_t=x_{t-<!--\; -\; -->1}$$L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$  данные модели можно записать следующим образом:

$(1-<!--\; -\; -->L{)}^d{X}_t=c+(\underset{i=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{L}^i)(1-<!--\; -\; -->L{)}^d{X}_t+(1+\underset{j=1}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_j{L}^j){\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$(1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d}X_{t}+(1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}$ ,

или сокращённо:

$a(L)(1-<!--\; -\; -->L{)}^d{X}_t=c+b(L){\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t}$ .

где $a(L)=1-<!--\; -\; -->\underset{i=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{L}^i$$a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i}$ 

$b(L)=1+\underset{j=1}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_j{L}^j$$b(L)=1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j}$ 

ПримерПравить

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания:

$x_t=x_{t-<!--\; -\; -->1}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{△<!--\; △\; -->}{x}_t=(1-<!--\; -\; -->L)x_t={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t$$x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \triangle x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t}$ 

Следовательно это модель $ARIMA(0,1,0)$$ARIMA(0,1,0)$ .

Интегрированные временные рядыПравить

Основная статья: Интегрированный временной ряд

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной $X_t$$X_{t}$  ряд называется интегрированным порядка $k$$k$  (обычно пишут $X_t\sim <!--\; \sim \; -->I(k)$$X_{t}\sim I(k)$ ), если разности ряда порядка $k$$k$ , то есть ${\mathrm{△<!--\; △\; -->}}^k{x}_t$$\triangle ^{k}x_{t}$  являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности $I(0)$$I(0)$  — это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок $d$$d$  модели $ARIMA(p,d,q)$$ARIMA(p,d,q)$ .

Методология ARIMA (Бокса — Дженкинса)Править

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель, поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка $d$$d$ ).

Модели ARFIMAПравить

Теоретически порядок интегрированности $d$$d$  временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированных моделях авторегрессии — скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия $d$$d$ -ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных $d$$d$  (разложение в ряд Тейлора):

${\mathrm{△<!--\; △\; -->}}^d=(1-<!--\; -\; -->L{)}^d=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=0}{\overset{k-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(d-<!--\; -\; -->j)\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^k}{k!}{L}^k$$\triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{j=0}^{k-1}(d-j){\frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}$ .

ЛитератураПравить

• Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6.
• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.
• Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3.