Модель Хестона

В финансовой математике, модель Хестона — это математическая модель, предложенная Стивеном Хестоном, которая описывает совместную динамику цены базового актива и его волатильности. Поведение волатильности предполагается стохастичным: волатильность актива не только не является постоянным параметром модели, но изменяется согласно определённому случайному процессу.

Базовая модель ХестонаПравить

Базовая модель Хестона предполагает, что S_t, цена актива, определяется стохастическим процессом:

$d{S}_t=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{S}_{t}dt+\sqrt{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t}{S}_{t}d{W}_t^S$$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S}\,$ 

где ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t$$\nu _{t}$ , мгновенная дисперсия, задаётся процессом CIR:

$d{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t=\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t)dt+\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\sqrt{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t}d{W}_t^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$d\nu _{t}=\kappa (\theta -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu }\,$ 

а $d{W}_t^S,d{W}_t^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$${\scriptstyle dW_{t}^{S},\;dW_{t}^{\nu }}$  — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ, или, эквивалентно, с ковариацией ρ dt.

Параметры, использованные выше, имеют следующий смысл:

• μ — частота возвращения актива.
• θ — длинная дисперсий, или длинное средние дисперсии цены; при стремлении t к бесконечности, ожидаемое значение ν_t стремится к θ.
• κ — частота, с которой ν_t возвращается к θ.
• ξ — волатильность волатильности; как и предполагает название, она определяет дисперсию ν_t.

Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), тогда процесс ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t$$\nu _{t}$  строго положителен

$2{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_t\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2.$$2\kappa _{t}\theta \geq \xi ^{2}\,.$ 

ОбобщенияПравить

Для того, чтобы принять во внимание все свойства профиля волатильности, модель Хестона не является достаточно гибкой. Может быть необходимо добавить к ней дополнительные степени свободы.

Первое прямое обобщение это позволить параметрам зависеть от времени. Тогда динамика модели имеет вид:

$d{S}_t=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{S}_{t}dt+\sqrt{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t}{S}_{t}d{W}_t^S.$$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S}\,.$ 

Здесь ${\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t$$\nu _{t}$ , мгновенная дисперсия, задаётся зависящим от времени процессом CIR:

$d{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t={\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_t({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_t-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t)dt+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_t\sqrt{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t}d{W}_t^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$d\nu _{t}=\kappa _{t}(\theta _{t}-\nu _{t})\,dt+\xi _{t}{\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu }\,$ 

а $d{W}_t^S,d{W}_t^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$${\scriptstyle dW_{t}^{S},\;dW_{t}^{\nu }}$  — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ. Для того, чтобы сохранить трактовку модели необходимо потребовать, чтобы параметры были кусочно-постоянными.

Другой подход состоит в добавлении второго процесса с независимой от первого дисперсией.

$d{S}_t=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{S}_{t}dt+\sqrt{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t^1}{S}_{t}d{W}_t^{S,1}+\sqrt{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t^2}{S}_{t}d{W}_t^{S,2}$$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}^{1}}}S_{t}\,dW_{t}^{S,1}+{\sqrt {\nu _{t}^{2}}}S_{t}\,dW_{t}^{S,2}\,$ 

$d{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t^1={\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^1({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t^1)dt+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^1\sqrt{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t^1}d{W}_t^{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^1}$$d\nu _{t}^{1}=\kappa ^{1}(\theta ^{1}-\nu _{t}^{1})\,dt+\xi ^{1}{\sqrt {\nu _{t}^{1}}}\,dW_{t}^{\nu ^{1}}\,$ 

$d{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t^2={\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^2({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t^2)dt+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2\sqrt{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_t^2}d{W}_t^{{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2}$$d\nu _{t}^{2}=\kappa ^{2}(\theta ^{2}-\nu _{t}^{2})\,dt+\xi ^{2}{\sqrt {\nu _{t}^{2}}}\,dW_{t}^{\nu ^{2}}\,$ 

Существенное обобщение модели Хестона, делающее стохастически не только волатильность, но и среднее было предложено Лин Ченом (1996). В модели Чена динамика мгновенной процентной ставки устанавливается формулами:

$d{r}_t=({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_t-<!--\; -\; -->r_t)dt+\sqrt{r_t}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{t}d{W}_t,$$dr_{t}=(\theta _{t}-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},$ 

$d{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_t=({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_t-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_t)dt+\sqrt{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_t}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{t}d{W}_t,$$d\alpha _{t}=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},$ 

$d{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_t=({\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_t-<!--\; -\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_t)dt+\sqrt{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_t}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{t}d{W}_t.$$d\sigma _{t}=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.$ 

РеализацияПравить

Тонкости реализации модели Хестона с правильным учётом числа оборотов вокруг начала координат в комплексной плоскости для функции комплексного логарифма, составляющего часть решения для цены опциона, было впервые приведено в статье Кристиана Кала и Петера Якеля.

Информация о том, как использовать преобразование Фурье для оценки опционов приведено в статье Питера Карра и Дилипа Мадана.

Обобщение модели Хестона со случайными процентными ставками приведено в статье Гржелака и Остерли.

Вывод замкнутого решения для цен опционов для зависящей от времени модели Хестона приведён в статье Гобе и др.

Вывод замкнутого решения для цен опционов для двойной модели Хестона приведён в статьях Кристоферсена и Готье.

См. такжеПравить

• Стохастическая волатильность
• Нейтральная к риску мера (другое название: эквивалентная мартингальная мера)
• Теорема Гирсанова
• Мартингал
• Модель волатильности SABR