Булеан

Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества $A$$A$ (включая пустое множество и само множество $A$$A$); обозначается $\mathcal{P}(A)$${\mathcal P}(A)$ или $2^A$$2^A$ (так как оно соответствует множеству отображений из $A$$A$ в $\{0,1\}$$\{0,1\}$).

Если два множества равномощны, то равномощны и соответствующие множества подмножеств. Обратное утверждение (то есть инъективность операции $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mapsto <!--\; \mapsto \; -->2^{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}$$\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ для кардиналов) является независимым от ZFC.

В категории множеств можно снабдить функцию $\mathcal{P}$${\mathcal {P}}$ структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом:

• ковариантный функтор отображает функцию $f:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->B$$f\colon A\to B$ в функцию $\mathcal{P}f:<!--\; :\; -->\mathcal{P}A\to <!--\; \to \; -->\mathcal{P}B$${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}B$ такую, что она отображает $X$$X$ в образ $X$$X$ относительно $f$$f$;
• контравариантный функтор отображает функцию $f:<!--\; :\; -->A\to <!--\; \to \; -->B$$f\colon A\to B$ в $\mathcal{P}f:<!--\; :\; -->\mathcal{P}B\to <!--\; \to \; -->\mathcal{P}A$${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}B\to {\mathcal {P}}A$ такую, что она отображает $X$$X$ в полный прообраз $X$$X$ относительно $f$$f$.

Мощность конечного множества подмножествПравить

Справедливо следующее утверждение: число подмножеств конечного множества, состоящего из $n$$n$  элементов, равно $2^n$$2^{n}$ . Результат доказывается методом математической индукции. В базе, у пустого множества $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\varnothing$ ($n=0$$n=0$ ) только одно подмножество — оно само, и $2^0=1$$2^{0}=1$ . На шаге индукции утверждение считается установленным для множеств мощности $n$$n$  и рассматривается произвольное множество $M$$M$  с кардинальным числом $n+1$$n+1$ ; зафиксировав некоторый элемент $a_0\in <!--\; \in \; -->M$$a_{0}\in M$ , подмножества множества $M$$M$  разделяются на два семейства:

1. $M_1$$M_{1}$ , содержащие $a_0$$a_{0}$ ,
2. $M_2$$M_{2}$ , не содержащие $a_0$$a_{0}$ , то есть являющиеся подмножествами множества $M\setminus <!--\; \setminus \; -->\{a_0\}$$M\setminus \{a_{0}\}$ .

Подмножеств второго типа по предположению индукции $2^n$$2^{n}$ , подмножеств первого типа ровно столько же, так как подмножество такого типа получается из некоторого и притом единственного подмножества второго типа добавлением элемента $a_0$$a_{0}$  и, следовательно:

$2^M=M_1\bigcup <!--\; \bigcup \; -->M_2$$2^{M}=M_{1}\bigcup M_{2}$  и $M_1\bigcap <!--\; \bigcap \; -->M_2=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$M_{1}\bigcap M_{2}=\varnothing$ .

По индукционному предположению $\left|M_1\right|=2^n$$\left|M_{1}\right|=2^{n}$  и $\left|M_2\right|=2^n$$\left|M_{2}\right|=2^{n}$ , то есть:

$\left|2^M\right|=\left|M_1\right|+\left|M_2\right|=2^n+2^n=2^{n+1}=2^{\left|M\right|}$$\left|2^{M}\right|=\left|M_{1}\right|+\left|M_{2}\right|=2^{n}+2^{n}=2^{{n+1}}=2^{\left|M\right|}$ .

См. такжеПравить

• Аксиома множества подмножеств
• Теорема Кантора
• Континуум-гипотеза

ЛитератураПравить

• Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.