Многочлен Джонса

Многочлен Джонса — полиномиальный инвариант узла, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению многочлен Лорана от формальной переменной $t^{1/2}$$t^{{1/2}}$ с целыми коэффициентами. Построен Воном Джонсом в 1984 году.

Определение через скобку КауффманаПравить

Для заданного ориентированного зацепления $L$$L$  определяется вспомогательный многочлен:

$X(L)=(-<!--\; -\; -->A^3{)}^{-<!--\; -\; -->w(L)}⟨<!--\; ⟨\; -->L⟩<!--\; ⟩\; -->$$X(L)=(-A^{3})^{{-w(L)}}\langle L\rangle$ ,

где $w(L)$$w(L)$  — число закрученности диаграммы $L$$L$ , а $⟨<!--\; ⟨\; -->L⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle L\rangle$  — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков $L_{+}$$L_{{+}}$  и числом отрицательных перекрёстков $L_{-<!--\; -\; -->}$$L_{{-}}$  и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

$X(L)$$X(L)$  — инвариант узла, поскольку он инвариантен относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы $L$$L$ . Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на $-<!--\; -\; -->A^{\pm <!--\; \pm \; -->3}$$-A^{{\pm 3}}$ , что в точности компенсируется изменением на +1 или −1 числа закрученности $w(L)$$w(L)$ .

Многочлен Джонса определяется из $X(L)$$X(L)$  подстановкой:

$A=t^{-<!--\; -\; -->1/4}$$A=t^{{-1/4}}$ ,

результирующее выражение является многочленом Лорана от переменной $t^{1/2}$$t^{{1/2}}$ .

Определение через представления группы косПравить

Оригинальное определение Джонса использует операторную алгебру и понятие следа представления кос, возникшего в статистической механике (модель Поттса^[en]).

Теорема Александера^[en] утверждает, что любое зацепление $L$$L$  является замыканием косы с $n$$n$  нитями, в связи с этим можно определить представление $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  группы кос $B_n$$B_{n}$  с $n$$n$  нитями на алгебре Темперли — Либа $T{L}_n$$TL_{n}$  с коэффициентами из $\mathbb{Z}[A,A^{-<!--\; -\; -->1}]$$\mathbb {Z} [A,A^{-1}]$  и $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=-<!--\; -\; -->A^2-<!--\; -\; -->A^{-<!--\; -\; -->2}$$\delta =-A^{2}-A^{-2}$ . Стандартная образующая косы ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i$$\sigma_i$  равна $A\cdot <!--\; \cdot \; -->e_i+A^{-<!--\; -\; -->1}\cdot <!--\; \cdot \; -->1$$A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1$ , где $1,e_1,e_2,...,e_{n-<!--\; -\; -->1}$$1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1}$  — стандартные образующие алгебры Темперли — Либа. Для слова $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  косы $L$$L$  вычисляется ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->1}tr\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})$$\sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )$ , где $tr$$tr$  — след Маркова, в результате получается $⟨<!--\; ⟨\; -->L⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle L\rangle$ , где $⟨<!--\; ⟨\; -->$$\langle$  $⟩<!--\; ⟩\; -->$$\rangle$  — скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление $R$$R$ -матриц, можно прийти к обобщениям инвариантов Джонса (например, таковым является понятие $k$$k$ -параллельного полинома Джонса).

Определение через скейн-соотношенияПравить

Многочлен Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

$(t^{1/2}-<!--\; -\; -->t^{-<!--\; -\; -->1/2})V(L_0)=t^{-<!--\; -\; -->1}V(L_{+})-<!--\; -\; -->tV(L_{-<!--\; -\; -->})$$(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})$ ,

где $L_{+}$$L_{{+}}$ , $L_{-<!--\; -\; -->}$$L_{{-}}$ , и $L_0$$L_{{0}}$  — три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек:

 

СвойстваПравить

Многочлен Джонса обладает многими замечательными свойствами.

Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной $t$$t$  в многочлене Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.

Многочлен Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть:

$V(L_1\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}{L}_2)=V(L_1)V(L_2)$$V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})$ .

Многочлен Джонса несвязной суммы узлов равен:

$V(L_1\cup <!--\; \cup \; -->L_2)=-<!--\; -\; -->(t^{-<!--\; -\; -->1/2}+t^{1/2})V(L_1)V(L_2)$$V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})$ .

Многочлен Джонса объединения зацепления $L$$L$  и тривиального узла равен:

$V(L\cup <!--\; \cup \; -->O)=-<!--\; -\; -->(t^{-<!--\; -\; -->1/2}+t^{1/2})V(L)$$V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)$ .

Для $L^{{\ast <!--\; \ast \; -->}_k}$$L^{*_{k}}$  — ориентированного зацепления, получаемого из заданного ориентированного зацепления $L$$L$  заменой ориентации некоторой компоненты $k$$k$  на противоположную, имеет место:

$V_{L^{\ast <!--\; \ast \; -->}}=t^{-<!--\; -\; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->V(L)$$V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)$ ,

где $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  — это коэффициент зацепления компоненты $k$$k$  и $L-<!--\; -\; -->k$$L-k$ .

Многочлен Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).

Зеркально-симметричный образ зацепления имеет многочлен Джонса, получающийся заменой $t$$t$  на $t^{-<!--\; -\; -->1}$$t^{{-1}}$  (свойство легко проверяется с использованием определения через скобку Кауффмана).

Если $K$$K$  — узел, тогда:

$V_K(e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i/3})=1$$V_{K}(e^{2\pi i/3})=1$ .

Значение многочлена Джонса для зацепления $L$$L$  с числом компонент зацепления $p$$p$  в точке 1:

$V_L(1)=(-<!--\; -\; -->2{)}^{p-<!--\; -\; -->1}$$V_{L}(1)=(-2)^{p-1}$ .

Многочлен Джонса $(m,n)$$(m,n)$ -торического узла:

$V(t)=\frac{t^{\frac{(m-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->(n-<!--\; -\; -->1)}{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->t^{m+1}-<!--\; -\; -->t^{n+1}+t^{m+n})}{1-<!--\; -\; -->t^2}$$V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^{n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}$ .

Открытые проблемыПравить

В 2003 году построено семейство нетривиальных зацеплений с многочленом Джонса равным многочлену Джонса тривиального зацепления, при этом неизвестно, существует ли нетривиальный узел, многочлен Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла. В 2017 году построено семейство нетривиальных узлов $K_r$$K_{r}$  с $20\cdot <!--\; \cdot \; -->2^{r-<!--\; -\; -->1}+1$$20\cdot 2^{r-1}+1$  пересечениями, для которых многочлен Джонса $V(K_r)$$V(K_{r})$  сравним с единицей по модулю $2^r$$2^{r}$ .

Вариации и обобщенияПравить

• Теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как многочлен Джонса.

• В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (гомологии Хованова^[en]). Эта теория гомологий является категорификацией многочлена Джонса, то есть многочлен Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.

• Многочлен HOMFLY — похожий инвариант узлов и зацеплений.

ЛитератураПравить

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.