Алгебра Темперли — Либа

Алгебра Темперли — Либа — алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер-матрицы  (англ.) (рус.. Открыта Невиллом Темперли  (англ.) (рус. и Эллиотом Либом. Алгебра применяется в статистической механике, в теории интегрируемых моделей  (англ.) (рус., имеет отношение к теории узлов и группам кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.

ОпределениеПравить

Пусть $R$$R$  — коммутативное кольцо (чаще всего — поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\in <!--\; \in \; -->R$$\delta \in R$ . Алгеброй Темперли — Либа $T{L}_n(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$$TL_{n}(\delta )$  называется $R$$R$ -алгебра образованная генераторами $U_1,U_2,\dots <!--\; \dots \; -->,U_{n-<!--\; -\; -->1}$$U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n-1}$ , подчиняющимися соотношениям Джонса:

• $U_i^2=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{U}_i$$U_{i}^{2}=\delta U_{i}$  при $1\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->n-<!--\; -\; -->1$$1\leq i\leq n-1$ 
• $U_i{U}_{i+1}{U}_i=U_i$$U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}$  при$1\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->n-<!--\; -\; -->2$$1\leq i\leq n-2$ 
• $U_i{U}_{i-<!--\; -\; -->1}{U}_i=U_i$$U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}$  при $2\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->n-<!--\; -\; -->1$$2\leq i\leq n-1$ 
• $U_i{U}_j=U_j{U}_i$$U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}$  при $1\le <!--\; \le \; -->i,j\le <!--\; \le \; -->n-<!--\; -\; -->1$$1\leq i,j\leq n-1$ , таких что $|i-<!--\; -\; -->j|\ne <!--\; \ne \; -->1$$|i-j|\neq 1$ 

$T{L}_n(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$$TL_{n}(\delta )$  можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по $n$$n$  точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов $T{L}_3(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$$TL_{3}(\delta )$  выглядят следующим образом:

 .

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель δ. Например,

  ×   =    = δ  .

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор $U_i$$U_{i}$  — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами $T{L}_5(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$$TL_{5}(\delta )$  являются:

 

Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U₁, U₂, U₃, U₄.

Соотношения Джонса можно изобразить графически:

    = δ  

      =  

    =    

СсылкиПравить

• Louis H. Kauffman, State Models and the Jones Polynomial. Архивная копия от 8 декабря 2019 на Wayback Machine Topology, 26(3):395-407, 1987.
• R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics Архивная копия от 20 марта 2012 на Wayback Machine Academic Press Inc., 1982.
• N. Temperley, E. Lieb, Relations between the percolation and colouring problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolation problem. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251—280.