Многочлены Кравчука

Многочлены Кравчука
Многочлены Кравчука
Общая информация
Формула	K n ( p ) ( x ) = ( − 1 ) n ( N n ) p n 2 F 1 ( − n , − x ; − N ; 1 / p )
Скалярное произведение	( f , g ) = ∑ x = 0 N f ( x ) g ( x ) σ ( x ) .
Область определения	x ∈ 1 , 2 , . . . N
Дополнительные характеристики
Названы в честь	Кравчук, Михаил Филиппович

Многочлены Кравчука (М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_{n}^{2},\delta _{m,n}$ $\sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_{n}^{2},\delta _{m,n}$ .

Здесь $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{N-x}$ $\sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{N-x}$ — весовая функция, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n}}}$ $d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n}}}$ — квадратичная норма, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1$ $0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1$ . Для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p=q=1\left/2\right.$ $p=q=1\left/2\right.$ весовая функция с точностью до постоянного множителя $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $1\left/2^{N}\right.$ $1\left/2^{N}\right.$ сводится к биномиальному коэффициенту.

Рекуррентное соотношение для этих многочленов имеет вид $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x)={\bigl [}x+n(p-q)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)$ $(n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x)={\bigl [}x+n(p-q)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)$ .

Путём несложных преобразований его можно привести к форме

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n-1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}(x)}{d_{n}}}$ $f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n-1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}(x)}{d_{n}}}$ ,

где

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N}}},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN}}},\quad \varepsilon =r(p-q),\quad \Delta =-rpN.$ $f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N}}},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN}}},\quad \varepsilon =r(p-q),\quad \Delta =-rpN.$

Многочлены Кравчука могут быть выражены через гипергеометрическую функцию Гаусса:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)$ $k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)$

В пределе при $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $N\to \infty$ $N\to \infty$ многочлены Кравчука переходят в многочлены Эрмита:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt {2Npq}},x\right)=H_{n}(x)$ $\lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt {2Npq}},x\right)=H_{n}(x)$

Первые четыре полинома для простейшего случая $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p=q=1/2$ $p=q=1/2$ :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1$ ${\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N$ ${\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}$ ${\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2}-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}$ ${\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2}-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}$

ЛитератураПравить

Sur une généralisation des polynomes d’Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622 — статья, в которой впервые введены многочлены Кравчука; по ссылке доступны французский оригинал и переводы на английский и русский языки.
А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
Krawtchouk Polynomials Home Page — сайт, посвященный многочленам Кравчука, содержит, в частности, обширную библиографию.

Многочлены Кравчука

ЛитератураПравить

См. такжеПравить